Страница 45 номер 5.14, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \log_{7}(6 - x)\); 2) \(f(x) = \log_{12} |x|\); 3) \(f(x) = \lg(x^2 - 1)\); 4) \(f(x) = \log_{0{,}4}(7x - x^2)\); 5) \(f(x) = \lg(x + 2) - 2\lg(x + 5)\); 6) \(f(x) = \lg \frac{2x + 1}{x - 1}\).
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
1) \(6 - x > 0\), откуда \(x < 6\). Значит, \(D(f) = (-\infty;\ 6)\).
2) \(|x| > 0\), а модуль равен нулю только при \(x = 0\), то есть \(x \ne 0\). Значит, \(D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).
3) \(x^{2} - 1 > 0\), то есть \((x - 1)(x + 1) > 0\). Множители одного знака при \(x > 1\) и при \(x < -1\). Значит, \(D(f) = (-\infty;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\).
4) \(7x - x^{2} > 0\), то есть \(x(7 - x) > 0\). Множители имеют одинаковые знаки при \(0 < x < 7\). Значит, \(D(f) = (0;\ 7)\).
5) Смысл имеет каждый из логарифмов: \(\begin{cases} x + 2 > 0, \\ x + 5 > 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x > -2, \\ x > -5. \end{cases}\) Общая часть промежутков — \(x > -2\). Значит, \(D(f) = (-2;\ +\infty)\).
6) \(\frac{2x + 1}{x - 1} > 0\); нуль числителя — \(x = -\frac{1}{2}\), нуль знаменателя — \(x = 1\). Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака: при \(x > 1\) оба положительны, при \(x < -\frac{1}{2}\) оба отрицательны, а при \(-\frac{1}{2} < x < 1\) знаки разные. Значит, \(D(f) = \left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right) \cup (1;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 6)\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\); 4) \((0;\ 7)\); 5) \((-2;\ +\infty)\); 6) \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right) \cup (1;\ +\infty)\).
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \log_{7}(6 - x)\); 2) \(f(x) = \log_{12} |x|\); 3) \(f(x) = \lg(x^2 - 1)\); 4) \(f(x) = \log_{0{,}4}(7x - x^2)\); 5) \(f(x) = \lg(x + 2) - 2\lg(x + 5)\); 6) \(f(x) = \lg \frac{2x + 1}{x - 1}\).
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
1) \(6 - x > 0\), откуда \(x < 6\). Значит, \(D(f) = (-\infty;\ 6)\).
2) \(|x| > 0\), а модуль равен нулю только при \(x = 0\), поэтому \(x \ne 0\). Значит, \(D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).
3) \(x^{2} - 1 > 0\), то есть \((x - 1)(x + 1) > 0\). Оба множителя положительны при \(x > 1\) и оба отрицательны при \(x < -1\). Значит, \(D(f) = (-\infty;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\).
4) \(7x - x^{2} > 0\), то есть \(x(7 - x) > 0\). Множители имеют одинаковые знаки при \(0 < x < 7\). Значит, \(D(f) = (0;\ 7)\).
5) Смысл имеет каждый из логарифмов, поэтому область определения — множество решений системы \(\begin{cases} x + 2 > 0, \\ x + 5 > 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x > -2, \\ x > -5. \end{cases}\) Общая часть промежутков — \(x > -2\). Значит, \(D(f) = (-2;\ +\infty)\).
6) \(\frac{2x + 1}{x - 1} > 0\). Нуль числителя — \(x = -\frac{1}{2}\), нуль знаменателя — \(x = 1\). При \(x > 1\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна; при \(-\frac{1}{2} < x < 1\) числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поэтому дробь отрицательна; при \(x < -\frac{1}{2}\) оба они отрицательны, поэтому дробь положительна. Значит, \(D(f) = \left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right) \cup (1;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 6)\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\); 4) \((0;\ 7)\); 5) \((-2;\ +\infty)\); 6) \(\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right) \cup (1;\ +\infty)\).
