Страница 44 номер 5.6, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните с единицей основание логарифма, если: 1) \(\log_{a} \frac{2}{3} > \log_{a} \frac{1}{2}\); 2) \(\log_{a} 2 < \log_{a} \sqrt{3}\).
Основание логарифма положительно и отлично от единицы, поэтому возможны лишь два случая: \(a > 1\) (функция \(y = \log_{a} x\) возрастающая) и \(0 < a < 1\) (функция убывающая).
1) При \(0 < a < 1\) из \(\frac{2}{3} > \frac{1}{2}\) следовало бы \(\log_{a} \frac{2}{3} < \log_{a} \frac{1}{2}\) — противоречие. Значит, \(a > 1\).
2) Так как \(2 = \sqrt{4}\) и \(4 > 3\), то \(2 > \sqrt{3}\). При \(a > 1\) из \(2 > \sqrt{3}\) следовало бы \(\log_{a} 2 > \log_{a} \sqrt{3}\) — противоречие. Значит, \(0 < a < 1\).
Ответ: 1) \(a > 1\); 2) \(0 < a < 1\).
Сравните с единицей основание логарифма, если: 1) \(\log_{a} \frac{2}{3} > \log_{a} \frac{1}{2}\); 2) \(\log_{a} 2 < \log_{a} \sqrt{3}\).
Основание логарифма положительно и отлично от единицы, поэтому для него возможны лишь два случая: \(a > 1\) (функция \(y = \log_{a} x\) возрастающая) и \(0 < a < 1\) (функция убывающая).
1) Предположим, что \(0 < a < 1\). Тогда функция \(y = \log_{a} x\) убывающая, и из неравенства \(\frac{2}{3} > \frac{1}{2}\) следовало бы, что \(\log_{a} \frac{2}{3} < \log_{a} \frac{1}{2}\). Но по условию это не так. Значит, \(a > 1\).
2) Сравним аргументы: \(2 = \sqrt{4}\) и \(4 > 3\), поэтому \(2 > \sqrt{3}\). Предположим, что \(a > 1\). Тогда функция \(y = \log_{a} x\) возрастающая, и из неравенства \(2 > \sqrt{3}\) следовало бы, что \(\log_{a} 2 > \log_{a} \sqrt{3}\). Но по условию это не так. Значит, \(0 < a < 1\).
Ответ: 1) \(a > 1\); 2) \(0 < a < 1\).
