Страница 38 номер 4.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите \(x\), если: 1) \(\log_{a}x = 3\log_{a}2 + 2\log_{a}3\); 2) \(\log_{a}x = \frac{1}{4}\log_{a}16 + 3\log_{a}0{,}5\); 3) \(\lg x = \frac{2}{5}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 64 + 1\).
Основание \(a\) положительно и отлично от единицы, левая часть каждого равенства определена при \(x > 0\).
1) \(3\log_{a} 2 + 2\log_{a} 3 = \log_{a} 2^{3} + \log_{a} 3^{2} = \log_{a}(8 \cdot 9) = \log_{a} 72\), значит, \(\log_{a} x = \log_{a} 72\) и \(x = 72\).
2) \(\frac{1}{4}\log_{a} 16 + 3\log_{a} 0{,}5 = \frac{1}{4}\log_{a} 2^{4} + \log_{a} 0{,}5^{3} = \log_{a} 2 + \log_{a} 0{,}125 = \log_{a}(2 \cdot 0{,}125) = \log_{a}\frac{1}{4}\), значит, \(\log_{a} x = \log_{a}\frac{1}{4}\) и \(x = \frac{1}{4}\).
3) Здесь \(32 = 2^{5}\), \(64 = 2^{6}\), а единица равна \(\lg 10\), поэтому \(\frac{2}{5}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 64 + 1 = 2\lg 2 - 2\lg 2 + \lg 10 = \lg 10\), значит, \(\lg x = \lg 10\) и \(x = 10\).
Ответ: 1) 72; 2) \(\frac{1}{4}\); 3) 10.
Найдите \(x\), если: 1) \(\log_{a}x = 3\log_{a}2 + 2\log_{a}3\); 2) \(\log_{a}x = \frac{1}{4}\log_{a}16 + 3\log_{a}0{,}5\); 3) \(\lg x = \frac{2}{5}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 64 + 1\).
Основание логарифма \(a\) положительно и отлично от единицы, а левая часть каждого равенства определена при \(x > 0\). Правую часть свернём в один логарифм по основанию \(a\): если равенство приняло вид \(\log_{a} x = \log_{a} b\), то \(x = a^{\log_{a} b} = b\).
1) \(3\log_{a} 2 + 2\log_{a} 3 = \log_{a} 2^{3} + \log_{a} 3^{2} = \log_{a}(8 \cdot 9) = \log_{a} 72\). Значит, \(\log_{a} x = \log_{a} 72\) и \(x = 72\).
2) \(\frac{1}{4}\log_{a} 16 + 3\log_{a} 0{,}5 = \frac{1}{4}\log_{a} 2^{4} + \log_{a} 0{,}5^{3} = \log_{a} 2 + \log_{a} 0{,}125 = \log_{a}(2 \cdot 0{,}125) = \log_{a}\frac{1}{4}\). Значит, \(\log_{a} x = \log_{a}\frac{1}{4}\) и \(x = \frac{1}{4}\).
3) Здесь \(32 = 2^{5}\), \(64 = 2^{6}\), а единицу запишем как \(\lg 10\). Тогда \(\frac{2}{5}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 64 + 1 = 2\lg 2 - 2\lg 2 + \lg 10 = \lg 10\). Значит, \(\lg x = \lg 10\) и \(x = 10\).
Ответ: 1) 72; 2) \(\frac{1}{4}\); 3) 10.
