Страница 40 номер 4.49, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите \(\log_{45} 60\), если \(\log_{5} 2 = a\), \(\log_{5} 3 = b\).
\(\log_{45} 60 = \frac{\log_{5} 60}{\log_{5} 45}\), где \(60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5\) и \(45 = 3^{2} \cdot 5\).
Числитель: \(\log_{5} 60 = \log_{5} 2^{2} + \log_{5} 3 + \log_{5} 5 = 2\log_{5} 2 + \log_{5} 3 + 1 = 2a + b + 1\).
Знаменатель: \(\log_{5} 45 = \log_{5} 3^{2} + \log_{5} 5 = 2\log_{5} 3 + 1 = 2b + 1\).
Значит, \(\log_{45} 60 = \frac{2a + b + 1}{2b + 1}\).
Ответ: \(\frac{2a + b + 1}{2b + 1}\).
Найдите \(\log_{45} 60\), если \(\log_{5} 2 = a\), \(\log_{5} 3 = b\).
Перейдём в логарифме \(\log_{45} 60\) к основанию 5 — тому самому, по которому даны логарифмы чисел 2 и 3: \(\log_{45} 60 = \frac{\log_{5} 60}{\log_{5} 45}\).
Разложим числа на множители: \(60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5\) и \(45 = 3^{2} \cdot 5\). Тогда числитель равен \(\log_{5} 60 = \log_{5} 2^{2} + \log_{5} 3 + \log_{5} 5 = 2\log_{5} 2 + \log_{5} 3 + 1 = 2a + b + 1\), а знаменатель равен \(\log_{5} 45 = \log_{5} 3^{2} + \log_{5} 5 = 2\log_{5} 3 + 1 = 2b + 1\).
Значит, \(\log_{45} 60 = \frac{2a + b + 1}{2b + 1}\).
Ответ: \(\frac{2a + b + 1}{2b + 1}\).
