Страница 36 номер 4.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Представьте: 1) число 2 в виде степени числа 5; 2) число \(\frac{1}{9}\) в виде степени числа 10; 3) число \(\sqrt{14}\) в виде степени числа 7; 4) число \(0{,}17\) в виде степени числа 18.
1) \(2 = 5^{\log_{5} 2}\).
2) Основание 10 даёт десятичный логарифм: \(\frac{1}{9} = 10^{\lg\frac{1}{9}}\).
3) \(\sqrt{14} = 7^{\log_{7}\sqrt{14}}\), а показатель равен \(\log_{7}\sqrt{14} = \log_{7} 14^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_{7} 14\), значит, \(\sqrt{14} = 7^{\frac{1}{2}\log_{7} 14}\).
4) \(0{,}17 = 18^{\log_{18} 0{,}17}\).
Ответ: 1) \(2 = 5^{\log_{5} 2}\); 2) \(\frac{1}{9} = 10^{\lg\frac{1}{9}}\); 3) \(\sqrt{14} = 7^{\frac{1}{2}\log_{7} 14}\); 4) \(0{,}17 = 18^{\log_{18} 0{,}17}\).
Представьте: 1) число 2 в виде степени числа 5; 2) число \(\frac{1}{9}\) в виде степени числа 10; 3) число \(\sqrt{14}\) в виде степени числа 7; 4) число \(0{,}17\) в виде степени числа 18.
Основное логарифмическое тождество \(a^{\log_{a} b} = b\) позволяет записать положительное число \(b\) в виде степени любого основания \(a\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\): достаточно взять показателем \(\log_{a} b\).
1) \(2 = 5^{\log_{5} 2}\).
2) Основание 10 даёт десятичный логарифм: \(\frac{1}{9} = 10^{\lg\frac{1}{9}}\).
3) \(\sqrt{14} = 7^{\log_{7}\sqrt{14}}\), а показатель упрощается по теореме о логарифме степени: \(\log_{7}\sqrt{14} = \log_{7} 14^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_{7} 14\). Значит, \(\sqrt{14} = 7^{\frac{1}{2}\log_{7} 14}\).
4) \(0{,}17 = 18^{\log_{18} 0{,}17}\).
Ответ: 1) \(2 = 5^{\log_{5} 2}\); 2) \(\frac{1}{9} = 10^{\lg\frac{1}{9}}\); 3) \(\sqrt{14} = 7^{\frac{1}{2}\log_{7} 14}\); 4) \(0{,}17 = 18^{\log_{18} 0{,}17}\).
