Страница 44 номер 5.5, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните с единицей основание логарифма, если: 1) \(\log_{a} 0{,}5 > \log_{a} 0{,}4\); 2) \(\log_{a} \frac{2}{3} > \log_{a} 1\); 3) \(\log_{a} \sqrt{5} < \log_{a} \sqrt{6}\); 4) \(\log_{a} \frac{\pi}{4} < \log_{a} \frac{\pi}{3}\).
Основание логарифма положительно и отлично от единицы, поэтому возможны лишь два случая: \(a > 1\) (функция \(y = \log_{a} x\) возрастающая) и \(0 < a < 1\) (функция убывающая). В каждом пункте один из них приводит к противоречию с условием.
1) При \(0 < a < 1\) из \(0{,}5 > 0{,}4\) следовало бы \(\log_{a} 0{,}5 < \log_{a} 0{,}4\) — противоречие. Значит, \(a > 1\).
2) При \(a > 1\) из \(\frac{2}{3} < 1\) следовало бы \(\log_{a} \frac{2}{3} < \log_{a} 1\) — противоречие. Значит, \(0 < a < 1\).
3) При \(0 < a < 1\) из \(\sqrt{5} < \sqrt{6}\) следовало бы \(\log_{a} \sqrt{5} > \log_{a} \sqrt{6}\) — противоречие. Значит, \(a > 1\).
4) При \(0 < a < 1\) из \(\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}\) следовало бы \(\log_{a} \frac{\pi}{4} > \log_{a} \frac{\pi}{3}\) — противоречие. Значит, \(a > 1\).
Ответ: 1) \(a > 1\); 2) \(0 < a < 1\); 3) \(a > 1\); 4) \(a > 1\).
Сравните с единицей основание логарифма, если: 1) \(\log_{a} 0{,}5 > \log_{a} 0{,}4\); 2) \(\log_{a} \frac{2}{3} > \log_{a} 1\); 3) \(\log_{a} \sqrt{5} < \log_{a} \sqrt{6}\); 4) \(\log_{a} \frac{\pi}{4} < \log_{a} \frac{\pi}{3}\).
Основание логарифма положительно и отлично от единицы, поэтому для него возможны лишь два случая: \(a > 1\) (тогда функция \(y = \log_{a} x\) возрастающая) и \(0 < a < 1\) (тогда она убывающая). В каждом пункте один из случаев приводит к противоречию с условием.
1) Предположим, что \(0 < a < 1\). Тогда функция \(y = \log_{a} x\) убывающая, и из неравенства \(0{,}5 > 0{,}4\) следовало бы, что \(\log_{a} 0{,}5 < \log_{a} 0{,}4\). Но по условию это не так. Значит, \(a > 1\).
2) Предположим, что \(a > 1\). Тогда функция \(y = \log_{a} x\) возрастающая, и из неравенства \(\frac{2}{3} < 1\) следовало бы, что \(\log_{a} \frac{2}{3} < \log_{a} 1\). Но по условию это не так. Значит, \(0 < a < 1\).
3) Предположим, что \(0 < a < 1\). Тогда функция \(y = \log_{a} x\) убывающая, и из неравенства \(\sqrt{5} < \sqrt{6}\) следовало бы, что \(\log_{a} \sqrt{5} > \log_{a} \sqrt{6}\). Но по условию это не так. Значит, \(a > 1\).
4) Предположим, что \(0 < a < 1\). Тогда функция \(y = \log_{a} x\) убывающая, и из неравенства \(\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}\) следовало бы, что \(\log_{a} \frac{\pi}{4} > \log_{a} \frac{\pi}{3}\). Но по условию это не так. Значит, \(a > 1\).
Ответ: 1) \(a > 1\); 2) \(0 < a < 1\); 3) \(a > 1\); 4) \(a > 1\).
