Страница 45 номер 5.13, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
1) \(x + 1 > 0\), откуда \(x > -1\). Значит, \(D(f) = (-1;\ +\infty)\).
2) Неравенство \(x^{2} + 1 > 0\) выполняется при всех \(x\), так как \(x^{2} \geqslant 0\). Значит, \(D(f) = \mathbf{R}\).
3) \(-x > 0\), откуда \(x < 0\). Значит, \(D(f) = (-\infty;\ 0)\).
4) \(x^{2} > 0\), откуда \(x \ne 0\). Значит, \(D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).
5) \(x^{2} + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}\), а эта сумма не меньше \(\frac{3}{4}\), поэтому неравенство \(x^{2} + x + 1 > 0\) выполняется при всех \(x\). Значит, \(D(f) = \mathbf{R}\).
6) \(5x - 6 - x^{2} > 0\); умножим обе части на \(-1\), поменяв знак неравенства на противоположный: \(x^{2} - 5x + 6 < 0\), то есть \((x - 2)(x - 3) < 0\). Множители имеют разные знаки при \(2 < x < 3\). Значит, \(D(f) = (2;\ 3)\).
7) Смысл имеет каждый из логарифмов: \(\begin{cases} x > 0, \\ 2 - x > 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x > 0, \\ x < 2. \end{cases}\) Общая часть промежутков — \(0 < x < 2\). Значит, \(D(f) = (0;\ 2)\).
8) \(\frac{2x - 3}{x + 7} > 0\); нуль числителя — \(x = \frac{3}{2}\), нуль знаменателя — \(x = -7\). Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака: при \(x > \frac{3}{2}\) оба положительны, при \(x < -7\) оба отрицательны, а при \(-7 < x < \frac{3}{2}\) знаки разные. Значит, \(D(f) = (-\infty;\ -7) \cup \left(\frac{3}{2};\ +\infty\right)\).
Ответ: 1) \((-1;\ +\infty)\); 2) \(\mathbf{R}\); 3) \((-\infty;\ 0)\); 4) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); 5) \(\mathbf{R}\); 6) \((2;\ 3)\); 7) \((0;\ 2)\); 8) \((-\infty;\ -7) \cup \left(\frac{3}{2};\ +\infty\right)\).
Область определения логарифмической функции — множество положительных чисел, поэтому выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
1) \(x + 1 > 0\), откуда \(x > -1\). Значит, \(D(f) = (-1;\ +\infty)\).
2) Неравенство \(x^{2} + 1 > 0\) выполняется при всех \(x\), так как \(x^{2} \geqslant 0\). Значит, \(D(f) = \mathbf{R}\).
3) \(-x > 0\), откуда \(x < 0\). Значит, \(D(f) = (-\infty;\ 0)\).
4) Под знаком логарифма стоит \(x^{2}\), поэтому условие имеет вид \(x^{2} > 0\), откуда \(x \ne 0\). Значит, \(D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).
5) Выделим полный квадрат: \(x^{2} + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}\). Первое слагаемое неотрицательно, поэтому вся сумма не меньше \(\frac{3}{4}\) и неравенство \(x^{2} + x + 1 > 0\) выполняется при всех \(x\). Значит, \(D(f) = \mathbf{R}\).
6) \(5x - 6 - x^{2} > 0\). Умножим обе части на \(-1\), поменяв знак неравенства на противоположный: \(x^{2} - 5x + 6 < 0\), то есть \((x - 2)(x - 3) < 0\). Произведение отрицательно, когда множители имеют разные знаки, а это выполняется при \(2 < x < 3\). Значит, \(D(f) = (2;\ 3)\).
7) Смысл имеет каждый из логарифмов, поэтому область определения — множество решений системы \(\begin{cases} x > 0, \\ 2 - x > 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x > 0, \\ x < 2. \end{cases}\) Общая часть промежутков — \(0 < x < 2\). Значит, \(D(f) = (0;\ 2)\).
8) \(\frac{2x - 3}{x + 7} > 0\). Нуль числителя — \(x = \frac{3}{2}\), нуль знаменателя — \(x = -7\). При \(x > \frac{3}{2}\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна; при \(-7 < x < \frac{3}{2}\) числитель отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому дробь отрицательна; при \(x < -7\) оба они отрицательны, поэтому дробь положительна. Значит, \(D(f) = (-\infty;\ -7) \cup \left(\frac{3}{2};\ +\infty\right)\).
Ответ: 1) \((-1;\ +\infty)\); 2) \(\mathbf{R}\); 3) \((-\infty;\ 0)\); 4) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); 5) \(\mathbf{R}\); 6) \((2;\ 3)\); 7) \((0;\ 2)\); 8) \((-\infty;\ -7) \cup \left(\frac{3}{2};\ +\infty\right)\).
