Страница 39 номер 4.39, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Упростите выражение \(\log_{3}2 \cdot \log_{4}3 \cdot \log_{5}4 \cdot \ldots \cdot \log_{10}9\).
В каждом множителе перейдём к основанию 10. Знаменатель каждой дроби совпадает с числителем следующей, поэтому после сокращения останутся только \(\lg 2\) из первого числителя и \(\lg 10\) из последнего знаменателя, причём \(\lg 10 = 1\):
\[\log_{3} 2 \cdot \log_{4} 3 \cdot \log_{5} 4 \cdot \ldots \cdot \log_{10} 9 = \frac{\lg 2}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} \cdot \ldots \cdot \frac{\lg 9}{\lg 10} = \frac{\lg 2}{\lg 10} = \lg 2.\]
Ответ: \(\lg 2\).
Упростите выражение \(\log_{3}2 \cdot \log_{4}3 \cdot \log_{5}4 \cdot \ldots \cdot \log_{10}9\).
В каждом множителе перейдём к основанию 10: \(\log_{3} 2 = \frac{\lg 2}{\lg 3}\), \(\log_{4} 3 = \frac{\lg 3}{\lg 4}\), \(\log_{5} 4 = \frac{\lg 4}{\lg 5}\), …, \(\log_{10} 9 = \frac{\lg 9}{\lg 10}\).
У соседних дробей знаменатель одной совпадает с числителем следующей, поэтому после сокращения останутся только \(\lg 2\) из первого числителя и \(\lg 10\) из последнего знаменателя. Учтём ещё, что \(\lg 10 = 1\):
\[\log_{3} 2 \cdot \log_{4} 3 \cdot \log_{5} 4 \cdot \ldots \cdot \log_{10} 9 = \frac{\lg 2}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} \cdot \ldots \cdot \frac{\lg 9}{\lg 10} = \frac{\lg 2}{\lg 10} = \lg 2.\]
Ответ: \(\lg 2\).
