Страница 38 номер 4.34, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Упростите выражение \(\frac{\log_{a}ab\left(\log_{b}a - 1 + \log_{a}b\right)}{1 + \log_{a}^{3}b}\).
Запись \(\log_{a}^{3} b\) означает куб числа \(\log_{a} b\). Выражение определено при \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\), \(b \ne 1\) и ненулевом знаменателе.
Пусть \(\log_{a} b = t\). Тогда \(\log_{b} a = \frac{1}{t}\), причём \(t \ne 0\), поскольку \(b \ne 1\); кроме того, \(\log_{a} ab = \log_{a} a + \log_{a} b = 1 + t\).
Числитель: \((1 + t)\left(\frac{1}{t} - 1 + t\right) = (1 + t) \cdot \frac{t^{2} - t + 1}{t}\).
Знаменатель: \(1 + t^{3} = (1 + t)\left(t^{2} - t + 1\right)\).
Дискриминант трёхчлена \(t^{2} - t + 1\) равен \(1 - 4 = -3\), поэтому в нуль этот трёхчлен не обращается, а знаменатель равен нулю только при \(t = -1\), то есть при \(b = \frac{1}{a}\); такие значения в область определения не входят, и на ней дробь можно сократить:
\[\frac{(1 + t) \cdot \frac{t^{2} - t + 1}{t}}{(1 + t)\left(t^{2} - t + 1\right)} = \frac{1}{t}.\]
Здесь \(\frac{1}{t} = \frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a\).
Ответ: \(\log_{b} a\).
Упростите выражение \(\frac{\log_{a}ab\left(\log_{b}a - 1 + \log_{a}b\right)}{1 + \log_{a}^{3}b}\).
Запись \(\log_{a}^{3} b\) означает куб числа \(\log_{a} b\). Выражение определено при \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\), \(b \ne 1\), причём знаменатель не должен обращаться в нуль.
Обозначим \(\log_{a} b = t\). Тогда \(\log_{b} a = \frac{1}{t}\), причём \(t \ne 0\), поскольку \(b \ne 1\). Кроме того, \(\log_{a} ab = \log_{a} a + \log_{a} b = 1 + t\).
Числитель принимает вид \((1 + t)\left(\frac{1}{t} - 1 + t\right) = (1 + t) \cdot \frac{t^{2} - t + 1}{t}\), а знаменатель — вид \(1 + t^{3} = (1 + t)\left(t^{2} - t + 1\right)\).
Трёхчлен \(t^{2} - t + 1\) в нуль не обращается: его дискриминант \(1 - 4 = -3\) отрицателен. Поэтому знаменатель равен нулю только при \(t = -1\), то есть при \(b = \frac{1}{a}\); такие значения в область определения не входят, и на ней дробь можно сократить на \((1 + t)\left(t^{2} - t + 1\right)\):
\[\frac{(1 + t) \cdot \frac{t^{2} - t + 1}{t}}{(1 + t)\left(t^{2} - t + 1\right)} = \frac{1}{t}.\]
Число \(\frac{1}{t}\) — это \(\frac{1}{\log_{a} b}\), то есть \(\log_{b} a\).
Ответ: \(\log_{b} a\).
