Страница 45 номер 5.9, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Логарифмическая функция непрерывна и монотонна, поэтому наибольшего и наименьшего значений на отрезке она достигает в его концах.
1) Основание \(2 > 1\) — функция возрастающая. \(\log_{2} \frac{1}{4} = \log_{2} 2^{-2} = -2\) — наименьшее значение; \(\log_{2} 8 = \log_{2} 2^{3} = 3\) — наибольшее.
2) Основание \(\frac{1}{2}\) меньше единицы — функция убывающая. \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 4\) — наибольшее значение; \(\log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = -3\) — наименьшее.
3) Основание \(\frac{2}{3}\) меньше единицы — функция убывающая. \(\log_{\frac{2}{3}} \frac{4}{9} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = 2\) — наибольшее значение; \(\log_{\frac{2}{3}} \frac{81}{16} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = -4\) — наименьшее.
Ответ: 1) наибольшее значение 3, наименьшее значение \(-2\); 2) наибольшее значение 4, наименьшее значение \(-3\); 3) наибольшее значение 2, наименьшее значение \(-4\).
Логарифмическая функция непрерывна и монотонна, поэтому наибольшего и наименьшего значений на отрезке она достигает в его концах.
1) Основание \(2 > 1\), функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая: наименьшее значение — в левом конце отрезка, наибольшее — в правом.
\(\log_{2} \frac{1}{4} = \log_{2} 2^{-2} = -2\) — наименьшее значение; \(\log_{2} 8 = \log_{2} 2^{3} = 3\) — наибольшее значение.
2) Основание \(\frac{1}{2}\) меньше единицы, функция \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) убывающая: наибольшее значение — в левом конце отрезка, наименьшее — в правом.
\(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 4\) — наибольшее значение; \(\log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = -3\) — наименьшее значение.
3) Основание \(\frac{2}{3}\) меньше единицы, функция \(y = \log_{\frac{2}{3}} x\) убывающая: наибольшее значение — в левом конце отрезка, наименьшее — в правом.
\(\log_{\frac{2}{3}} \frac{4}{9} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = 2\) — наибольшее значение; \(\log_{\frac{2}{3}} \frac{81}{16} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = -4\) — наименьшее значение.
Ответ: 1) наибольшее значение 3, наименьшее значение \(-2\); 2) наибольшее значение 4, наименьшее значение \(-3\); 3) наибольшее значение 2, наименьшее значение \(-4\).
