Страница 37 номер 4.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите: 1) \(\log_{2}\log_{5}\sqrt[8]{5}\); 2) \(\log_{\frac{2}{3}}\log_{49}343\); 3) \(\log_{9}\log_{2}8\); 4) \(\log_{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\); 5) \(\log_{4}\sin\frac{\pi}{4}\).
1) \(\log_{5}\sqrt[8]{5} = \log_{5} 5^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8}\), поэтому \(\log_{2}\log_{5}\sqrt[8]{5} = \log_{2}\frac{1}{8} = -3\), так как \(2^{-3} = \frac{1}{8}\).
2) \(\log_{49} 343 = \frac{3}{2}\), так как \(49^{\frac{3}{2}} = \left(7^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = 7^{3} = 343\). Тогда \(\log_{\frac{2}{3}}\log_{49} 343 = \log_{\frac{2}{3}}\frac{3}{2} = -1\), так как \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}\).
3) \(\log_{2} 8 = 3\), поэтому \(\log_{9}\log_{2} 8 = \log_{9} 3 = \frac{1}{2}\), так как \(9^{\frac{1}{2}} = 3\).
4) \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\), поэтому \(\log_{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \log_{3}\sqrt{3} = \frac{1}{2}\), так как \(3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\).
5) \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-\frac{1}{2}}\), поэтому \(\log_{4}\sin\frac{\pi}{4} = \log_{4} 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}\), так как \(4^{-\frac{1}{4}} = \left(2^{2}\right)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{2}}\).
Ответ: 1) \(-3\); 2) \(-1\); 3) \(\frac{1}{2}\); 4) \(\frac{1}{2}\); 5) \(-\frac{1}{4}\).
Вычислите: 1) \(\log_{2}\log_{5}\sqrt[8]{5}\); 2) \(\log_{\frac{2}{3}}\log_{49}343\); 3) \(\log_{9}\log_{2}8\); 4) \(\log_{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\); 5) \(\log_{4}\sin\frac{\pi}{4}\).
Вычисление ведём изнутри: сначала находим значение выражения под знаком внешнего логарифма, потом берём сам логарифм. Каждый раз пользуемся определением логарифма.
1) Внутренний логарифм: \(\log_{5}\sqrt[8]{5} = \log_{5} 5^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8}\). Тогда \(\log_{2}\log_{5}\sqrt[8]{5} = \log_{2}\frac{1}{8} = -3\), так как \(2^{-3} = \frac{1}{8}\).
2) Внутренний логарифм: \(\log_{49} 343 = \frac{3}{2}\), так как \(49^{\frac{3}{2}} = \left(7^{2}\right)^{\frac{3}{2}} = 7^{3} = 343\). Тогда \(\log_{\frac{2}{3}}\log_{49} 343 = \log_{\frac{2}{3}}\frac{3}{2} = -1\), так как \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}\).
3) Внутренний логарифм: \(\log_{2} 8 = 3\), так как \(2^{3} = 8\). Тогда \(\log_{9}\log_{2} 8 = \log_{9} 3 = \frac{1}{2}\), так как \(9^{\frac{1}{2}} = 3\).
4) Под знаком логарифма стоит \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\). Тогда \(\log_{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \log_{3}\sqrt{3} = \frac{1}{2}\), так как \(3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\).
5) Под знаком логарифма стоит \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-\frac{1}{2}}\). Тогда \(\log_{4}\sin\frac{\pi}{4} = \log_{4} 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}\), так как \(4^{-\frac{1}{4}} = \left(2^{2}\right)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{2}}\).
Ответ: 1) \(-3\); 2) \(-1\); 3) \(\frac{1}{2}\); 4) \(\frac{1}{2}\); 5) \(-\frac{1}{4}\).
