Вопросы после параграфа §5 на странице 44, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Какую функцию называют логарифмической? 2. Перечислите свойства логарифмической функции.
При \(a > 0\) и \(a \ne 1\) каждому положительному числу \(x\) отвечает единственное число \(y\), для которого \(y = \log_{a} x\). Функцию \(f(x) = \log_{a} x\) с областью определения \(D(f) = (0;\ +\infty)\) и называют логарифмической.
Примеры: \(y = \log_{2} x\), \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\), \(y = \lg x\).
Логарифмическая функция обратна показательной функции \(g(x) = a^{x}\): \(D(f) = E(g) = (0;\ +\infty)\), \(E(f) = D(g) = \mathbf{R}\), и \(a^{\log_{a} x} = x\) при каждом положительном \(x\). Поэтому её график симметричен графику показательной функции относительно прямой \(y = x\).
Ответ: логарифмической называют функцию \(f(x) = \log_{a} x\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\); её область определения — множество всех положительных чисел.
Свойства функции \(y = \log_{a} x\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\), таковы.
Область определения: \(D(y) = (0;\ +\infty)\) — логарифм определён только для положительных чисел.
Область значений: \(E(y) = \mathbf{R}\), так как уравнение \(\log_{a} x = y_{0}\) имеет корень \(x = a^{y_{0}}\) при любом \(y_{0}\).
Нули функции: единственный нуль \(x = 1\), так как \(\log_{a} 1 = 0\).
Промежутки знакопостоянства: при \(a > 1\) имеем \(y < 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(y > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\); при \(0 < a < 1\) имеем \(y > 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(y < 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\).
Возрастание и убывание: при \(a > 1\) функция возрастающая, при \(0 < a < 1\) — убывающая; точек экстремума нет.
Непрерывность и дифференцируемость: функция непрерывна и дифференцируема на всей области определения.
Асимптоты: прямая \(x = 0\) — вертикальная асимптота графика.
Ответ: \(D(y) = (0;\ +\infty)\); \(E(y) = \mathbf{R}\); единственный нуль \(x = 1\); при \(a > 1\) функция возрастающая, \(y < 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(y > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\); при \(0 < a < 1\) функция убывающая, \(y > 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(y < 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\); точек экстремума нет; функция непрерывна и дифференцируема; прямая \(x = 0\) — вертикальная асимптота её графика.
1. Какую функцию называют логарифмической? 2. Перечислите свойства логарифмической функции.
Выберем положительное число \(a\), отличное от единицы. Каждому положительному числу \(x\) отвечает единственное число \(y\), для которого \(y = \log_{a} x\). Такое правило задаёт функцию \(f(x) = \log_{a} x\) с областью определения \(D(f) = (0;\ +\infty)\), и эту функцию называют логарифмической.
Ограничения на основание те же, что и в определении логарифма: \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Примеры логарифмических функций: \(y = \log_{2} x\), \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\), \(y = \lg x\).
Логарифмическая функция \(f(x) = \log_{a} x\) является обратной к показательной функции \(g(x) = a^{x}\): \(D(f) = E(g) = (0;\ +\infty)\), \(E(f) = D(g) = \mathbf{R}\), и для каждого положительного \(x\) выполняется равенство \(a^{\log_{a} x} = x\). Поэтому график логарифмической функции симметричен графику показательной относительно прямой \(y = x\).
Ответ: логарифмической называют функцию \(f(x) = \log_{a} x\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\); её область определения — множество всех положительных чисел.
Свойства функции \(y = \log_{a} x\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\), таковы.
Область определения: \(D(y) = (0;\ +\infty)\) — логарифм определён только для положительных чисел.
Область значений: \(E(y) = \mathbf{R}\) — при любом \(y_{0}\) уравнение \(\log_{a} x = y_{0}\) имеет корень \(x = a^{y_{0}}\).
Нули функции: единственный нуль \(x = 1\), так как \(\log_{a} 1 = 0\).
Промежутки знакопостоянства: если \(a > 1\), то \(y < 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(y > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\); если \(0 < a < 1\), то \(y > 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(y < 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\).
Возрастание и убывание: при \(a > 1\) функция возрастающая, при \(0 < a < 1\) — убывающая; точек экстремума она не имеет.
Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
Дифференцируемость: функция дифференцируема.
Асимптоты: прямая \(x = 0\) — вертикальная асимптота графика, когда \(x\) стремится к нулю справа.
Например, у функции \(y = \log_{2} x\) основание больше единицы: она возрастает, отрицательна на промежутке \((0;\ 1)\), обращается в нуль при \(x = 1\) и положительна на промежутке \((1;\ +\infty)\). У функции \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) основание меньше единицы, и знаки на этих промежутках противоположны.
Ответ: \(D(y) = (0;\ +\infty)\); \(E(y) = \mathbf{R}\); единственный нуль \(x = 1\); при \(a > 1\) функция возрастающая, \(y < 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(y > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\); при \(0 < a < 1\) функция убывающая, \(y > 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(y < 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\); точек экстремума нет; функция непрерывна и дифференцируема; прямая \(x = 0\) — вертикальная асимптота её графика.
