Страница 39 номер 4.44, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству: 1) \(\lg\frac{x}{y} = \lg(-x) - \lg(-y)\); 2) \(\lg x^{2} + \lg y^{2} = 2\lg x + 2\lg(-y)\); 3) \(\log_{x^{2}}y^{2} = \log_{x}y\).
Границы найденных множеств в них не входят — это штриховые линии.
1) Правая часть определена при \(-x > 0\) и \(-y > 0\), то есть при \(x < 0\) и \(y < 0\); тогда \(\frac{x}{y} > 0\), левая часть определена, и \(\lg(-x) - \lg(-y) = \lg\frac{-x}{-y} = \lg\frac{x}{y}\) — равенство выполняется. Искомое множество — открытая третья координатная четверть.
2) Правая часть определена при \(x > 0\) и \(-y > 0\), то есть при \(x > 0\) и \(y < 0\); левая часть при этих значениях тоже определена. При \(x > 0\) верно \(\lg x^{2} = 2\lg x\), а при \(y < 0\) верно \(\lg y^{2} = \lg(-y)^{2} = 2\lg(-y)\) — равенство выполняется. Искомое множество — открытая четвёртая координатная четверть.
3) Правая часть определена при \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(y > 0\); левая — при \(x \ne 0\), \(x \ne 1\), \(x \ne -1\), \(y \ne 0\). Обе части определены при \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(y > 0\).
Основание \(x^{2}\) — степень числа \(x\), поэтому \(\log_{x^{2}} y^{2} = \frac{1}{2}\log_{x} y^{2}\). Далее \(y^{2} = |y|^{2}\), а число \(|y|\) положительно, откуда \(\frac{1}{2}\log_{x} y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\log_{x}|y| = \log_{x}|y|\); при \(y > 0\) имеем \(|y| = y\), значит, равенство выполняется во всех точках множества. Это открытая первая координатная четверть без прямой \(x = 1\).
Ответ: 1) открытая третья координатная четверть; 2) открытая четвёртая координатная четверть; 3) открытая первая координатная четверть без прямой \(x = 1\).
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству: 1) \(\lg\frac{x}{y} = \lg(-x) - \lg(-y)\); 2) \(\lg x^{2} + \lg y^{2} = 2\lg x + 2\lg(-y)\); 3) \(\log_{x^{2}}y^{2} = \log_{x}y\).
Равенство имеет смысл только там, где определены обе его части. Поэтому в каждом пункте найдём множество, на котором определены и левая, и правая части, а потом проверим, выполняется ли на нём равенство. Границы найденного множества в него не входят — это штриховые линии.
1) Правая часть определена при \(-x > 0\) и \(-y > 0\), то есть при \(x < 0\) и \(y < 0\). Тогда \(\frac{x}{y} > 0\), левая часть определена, и по свойству логарифма частного \(\lg(-x) - \lg(-y) = \lg\frac{-x}{-y} = \lg\frac{x}{y}\) — равенство выполняется. Искомое множество — открытая третья координатная четверть.
2) Правая часть определена при \(x > 0\) и \(-y > 0\), то есть при \(x > 0\) и \(y < 0\); левая часть при этих значениях тоже определена. При \(x > 0\) верно \(\lg x^{2} = 2\lg x\), а при \(y < 0\) верно \(\lg y^{2} = \lg(-y)^{2} = 2\lg(-y)\), поэтому равенство выполняется. Искомое множество — открытая четвёртая координатная четверть.
3) Правая часть определена, когда основание \(x\) положительно и отлично от единицы, а число \(y\) положительно: \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(y > 0\). Левая часть определена, когда \(x^{2} > 0\) и \(x^{2} \ne 1\), то есть \(x \ne 0\), \(x \ne 1\) и \(x \ne -1\), а также \(y^{2} > 0\), то есть \(y \ne 0\). Обе части определены при \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(y > 0\).
Основание \(x^{2}\) — степень числа \(x\), поэтому \(\log_{x^{2}} y^{2} = \frac{1}{2}\log_{x} y^{2}\). Далее \(y^{2} = |y|^{2}\), а число \(|y|\) положительно, откуда \(\frac{1}{2}\log_{x} y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\log_{x}|y| = \log_{x}|y|\). При \(y > 0\) имеем \(|y| = y\), значит, равенство выполняется во всех точках множества. Это открытая первая координатная четверть без прямой \(x = 1\).
Ответ: 1) открытая третья координатная четверть; 2) открытая четвёртая координатная четверть; 3) открытая первая координатная четверть без прямой \(x = 1\).
