Страница 37 номер 4.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \[\begin{aligned} &2^{4\log_{2} 3 - 1} = 2^{4\log_{2} 3} : 2 = {} \\ &= \left(2^{\log_{2} 3}\right)^{4} : 2 = 81 : 2 = 40{,}5. \end{aligned}\]
2) Приведём логарифм к основанию 5: \(\log_{25} 9 = \log_{5^{2}} 9 = \frac{1}{2}\log_{5} 9 = \frac{1}{2}\log_{5} 3^{2} = \log_{5} 3\). Тогда \[\begin{aligned} &\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2} = \left(5^{-1}\right)^{\log_{5} 3 + 2} = 5^{-\log_{5} 3} \cdot 5^{-2} = {} \\ &= \left(5^{\log_{5} 3}\right)^{-1} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{75}. \end{aligned}\]
3) Здесь \(8 = 2^{3}\), поэтому \[\begin{aligned} &8^{1 - \frac{1}{3}\log_{2} 12} = 8 : 8^{\frac{1}{3}\log_{2} 12} = 8 : \left(2^{3}\right)^{\frac{1}{3}\log_{2} 12} = {} \\ &= 8 : 2^{\log_{2} 12} = 8 : 12 = \frac{2}{3}. \end{aligned}\]
4) Упростим показатель: \(\frac{1}{2}\log_{6} 9 = \log_{6} 9^{\frac{1}{2}} = \log_{6} 3\), а \(\log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^{-1}} 3 = -\log_{6} 3\), поэтому показатель равен \(\log_{6} 3 + \log_{6} 3\). Тогда \[6^{\frac{1}{2}\log_{6} 9 - \log_{\frac{1}{6}} 3} = 6^{\log_{6} 3 + \log_{6} 3} = 6^{\log_{6} 9} = 9.\]
5) Здесь \(\log_{144} 4 = \log_{12^{2}} 4 = \frac{1}{2}\log_{12} 4 = \frac{1}{2}\log_{12} 2^{2} = \log_{12} 2\), поэтому \[12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5} = 12^{\log_{12} 2 + \log_{12} 5} = 12^{\log_{12} 10} = 10.\]
6) Упростим показатель: \(\frac{1}{2}\lg 25 = \lg 25^{\frac{1}{2}} = \lg 5\), \(3\lg 2 = \lg 8\), поэтому он равен \(\lg 5 - \lg 8 = \lg 0{,}625\). Тогда \[\begin{aligned} &1000^{\frac{1}{2}\lg 25 - 3\lg 2} = \left(10^{3}\right)^{\lg 0{,}625} = {} \\ &= \left(10^{\lg 0{,}625}\right)^{3} = 0{,}625^{3} = \frac{125}{512}. \end{aligned}\]
7) Переставим основание и число: \(\frac{1}{\log_{7} 10} = \lg 7\). Тогда \(100^{\lg 7} = \left(10^{2}\right)^{\lg 7} = \left(10^{\lg 7}\right)^{2} = 7^{2} = 49\).
\(2^{\log_{2} 15 + 3} = 2^{\log_{2} 15} \cdot 2^{3} = 15 \cdot 8 = 120\).
Сумма слагаемых равна \(49 + 120 = 169\), а \(169 = 13^{2}\), поэтому \[\log_{13}\left(100^{\frac{1}{\log_{7} 10}} + 2^{\log_{2} 15 + 3}\right) = \log_{13} 169 = 2.\]
8) \[\begin{aligned} &5^{\log_{5} 4 \cdot \log_{2} 3} = \left(5^{\log_{5} 4}\right)^{\log_{2} 3} = 4^{\log_{2} 3} = {} \\ &= \left(2^{2}\right)^{\log_{2} 3} = \left(2^{\log_{2} 3}\right)^{2} = 3^{2} = 9. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(40{,}5\); 2) \(\frac{1}{75}\); 3) \(\frac{2}{3}\); 4) 9; 5) 10; 6) \(\frac{125}{512}\); 7) 2; 8) 9.
В каждом пункте основания степени и логарифма приводим к общему, пользуемся свойствами степени и основным логарифмическим тождеством \(a^{\log_{a} b} = b\).
1) \[\begin{aligned} &2^{4\log_{2} 3 - 1} = 2^{4\log_{2} 3} : 2 = {} \\ &= \left(2^{\log_{2} 3}\right)^{4} : 2 = 81 : 2 = 40{,}5. \end{aligned}\]
2) Приведём логарифм к основанию 5 по свойству \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\): \(\log_{25} 9 = \log_{5^{2}} 9 = \frac{1}{2}\log_{5} 9 = \frac{1}{2}\log_{5} 3^{2} = \log_{5} 3\). Тогда \[\begin{aligned} &\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2} = \left(5^{-1}\right)^{\log_{5} 3 + 2} = 5^{-\log_{5} 3} \cdot 5^{-2} = {} \\ &= \left(5^{\log_{5} 3}\right)^{-1} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{75}. \end{aligned}\]
3) Так как \(8 = 2^{3}\), то \[\begin{aligned} &8^{1 - \frac{1}{3}\log_{2} 12} = 8 : 8^{\frac{1}{3}\log_{2} 12} = 8 : \left(2^{3}\right)^{\frac{1}{3}\log_{2} 12} = {} \\ &= 8 : 2^{\log_{2} 12} = 8 : 12 = \frac{2}{3}. \end{aligned}\]
4) Упростим показатель: \(\frac{1}{2}\log_{6} 9 = \log_{6} 9^{\frac{1}{2}} = \log_{6} 3\), а по свойству \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\) имеем \(\log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^{-1}} 3 = -\log_{6} 3\). Значит, показатель равен \(\log_{6} 3 + \log_{6} 3\). Тогда \[6^{\frac{1}{2}\log_{6} 9 - \log_{\frac{1}{6}} 3} = 6^{\log_{6} 3 + \log_{6} 3} = 6^{\log_{6} 9} = 9.\]
5) По свойству \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\) имеем \(\log_{144} 4 = \log_{12^{2}} 4 = \frac{1}{2}\log_{12} 4 = \frac{1}{2}\log_{12} 2^{2} = \log_{12} 2\). Тогда \[12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5} = 12^{\log_{12} 2 + \log_{12} 5} = 12^{\log_{12} 10} = 10.\]
6) Упростим показатель: \(\frac{1}{2}\lg 25 = \lg 25^{\frac{1}{2}} = \lg 5\), \(3\lg 2 = \lg 8\), поэтому он равен \(\lg 5 - \lg 8 = \lg 0{,}625\). Тогда \[\begin{aligned} &1000^{\frac{1}{2}\lg 25 - 3\lg 2} = \left(10^{3}\right)^{\lg 0{,}625} = {} \\ &= \left(10^{\lg 0{,}625}\right)^{3} = 0{,}625^{3} = \frac{125}{512}. \end{aligned}\]
7) Дробь вида \(\frac{1}{\log_{a} b}\) — это логарифм с переставленными основанием и числом: \(\frac{1}{\log_{7} 10} = \lg 7\). Вычислим слагаемые: \(100^{\lg 7} = \left(10^{2}\right)^{\lg 7} = \left(10^{\lg 7}\right)^{2} = 7^{2} = 49\) и \(2^{\log_{2} 15 + 3} = 2^{\log_{2} 15} \cdot 2^{3} = 15 \cdot 8 = 120\). Их сумма равна \(49 + 120 = 169\), а \(169 = 13^{2}\), поэтому \[\log_{13}\left(100^{\frac{1}{\log_{7} 10}} + 2^{\log_{2} 15 + 3}\right) = \log_{13} 169 = 2.\]
8) \[\begin{aligned} &5^{\log_{5} 4 \cdot \log_{2} 3} = \left(5^{\log_{5} 4}\right)^{\log_{2} 3} = 4^{\log_{2} 3} = {} \\ &= \left(2^{2}\right)^{\log_{2} 3} = \left(2^{\log_{2} 3}\right)^{2} = 3^{2} = 9. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(40{,}5\); 2) \(\frac{1}{75}\); 3) \(\frac{2}{3}\); 4) 9; 5) 10; 6) \(\frac{125}{512}\); 7) 2; 8) 9.
