Страница 38 номер 4.36, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что значение выражения \(\log_{9 - 4\sqrt{5}}(9 + 4\sqrt{5})\) является целым числом.
Число \(9 - 4\sqrt{5}\) положительно и меньше единицы: \(4\sqrt{5} = \sqrt{80}\), а \(\sqrt{64} < \sqrt{80} < \sqrt{81}\), то есть \(8 < 4\sqrt{5} < 9\) и \(0 < 9 - 4\sqrt{5} < 1\), — такое число может быть основанием логарифма. Число \(9 + 4\sqrt{5}\) положительно.
\(\left(9 - 4\sqrt{5}\right)\left(9 + 4\sqrt{5}\right) = 81 - 80 = 1\), значит, эти числа взаимно обратны: \(9 + 4\sqrt{5} = \left(9 - 4\sqrt{5}\right)^{-1}\).
\[\begin{aligned} &\log_{9 - 4\sqrt{5}}\left(9 + 4\sqrt{5}\right) = \log_{9 - 4\sqrt{5}}\left(9 - 4\sqrt{5}\right)^{-1} = {} \\ &= -\log_{9 - 4\sqrt{5}}\left(9 - 4\sqrt{5}\right) = -1. \end{aligned}\]
Число \(-1\) целое, что и требовалось доказать.
Ответ: \(-1\).
Докажите, что значение выражения \(\log_{9 - 4\sqrt{5}}(9 + 4\sqrt{5})\) является целым числом.
Проверим сначала, что выражение имеет смысл. Число \(9 - 4\sqrt{5}\) положительно и меньше единицы: \(4\sqrt{5} = \sqrt{80}\), а \(\sqrt{64} < \sqrt{80} < \sqrt{81}\), то есть \(8 < 4\sqrt{5} < 9\). Значит, \(0 < 9 - 4\sqrt{5} < 1\), и такое число может быть основанием логарифма. Число \(9 + 4\sqrt{5}\) положительно.
Перемножим основание и число под знаком логарифма: \(\left(9 - 4\sqrt{5}\right)\left(9 + 4\sqrt{5}\right) = 81 - 80 = 1\). Значит, эти числа взаимно обратны: \(9 + 4\sqrt{5} = \frac{1}{9 - 4\sqrt{5}} = \left(9 - 4\sqrt{5}\right)^{-1}\).
Вынесем показатель степени за знак логарифма:
\[\begin{aligned} &\log_{9 - 4\sqrt{5}}\left(9 + 4\sqrt{5}\right) = \log_{9 - 4\sqrt{5}}\left(9 - 4\sqrt{5}\right)^{-1} = {} \\ &= -\log_{9 - 4\sqrt{5}}\left(9 - 4\sqrt{5}\right) = -1. \end{aligned}\]
Число \(-1\) целое, что и требовалось доказать.
Ответ: \(-1\).
