Страница 38 номер 4.30, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

1) Выражение определено при \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\), \(b \ne 1\): оба основания, \(\sqrt{b}\) и \(a\), должны быть положительными и отличными от единицы, а стоящие под знаками логарифмов числа \(a\) и \(b^{3}\) — положительными.

Основание \(\sqrt{b}\) — это степень \(b^{\frac{1}{2}}\), а логарифм по основанию-степени выражается так: \(\log_{b^{\beta}} a = \frac{1}{\beta}\log_{b} a\). Поэтому \(\log_{\sqrt{b}} a = 2\log_{b} a\). Во втором множителе вынесем показатель: \(\log_{a} b^{3} = 3\log_{a} b\). Осталось учесть, что числа \(\log_{b} a\) и \(\log_{a} b\) взаимно обратны: \(\log_{b} a = \frac{1}{\log_{a} b}\). Имеем:

\[\log_{\sqrt{b}} a \cdot \log_{a} b^{3} = 2\log_{b} a \cdot 3\log_{a} b = 6 \cdot \frac{1}{\log_{a} b} \cdot \log_{a} b = 6.\]

2) Основание \(\sqrt[3]{2}\) — это степень \(2^{\frac{1}{3}}\), поэтому \(\log_{\sqrt[3]{2}} 5 = 3\log_{2} 5\). Во втором множителе \(\log_{5} 8 = \log_{5} 2^{3} = 3\log_{5} 2\). Числа \(\log_{2} 5\) и \(\log_{5} 2\) взаимно обратны. Имеем:

\[\log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \log_{5} 8 = 3\log_{2} 5 \cdot 3\log_{5} 2 = 9 \cdot \frac{1}{\log_{5} 2} \cdot \log_{5} 2 = 9.\]

Ответ: 1) 6; 2) 9.