Страница 38 номер 4.31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите значение выражения \(5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}}5} + \frac{1}{2}\log_{5}4} + 36\log_{2}\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}\).
Переставим основание и число: \(\frac{1}{\log_{\sqrt{3}} 5} = \log_{5}\sqrt{3}\), поэтому \(\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} = 4\log_{5} 3^{\frac{1}{2}} = 2\log_{5} 3 = \log_{5} 9\).
Второе слагаемое показателя: \(\frac{1}{2}\log_{5} 4 = \log_{5} 4^{\frac{1}{2}} = \log_{5} 2\). Весь показатель равен \(\log_{5} 9 + \log_{5} 2 = \log_{5} 18\), откуда \(5^{\log_{5} 18} = 18\).
Во втором слагаемом \(\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}} = \left(2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} = \left(2^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{3}}\), поэтому \(36\log_{2}\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}} = 36\log_{2} 2^{\frac{1}{3}} = 36 \cdot \frac{1}{3} = 12\).
Значение выражения равно \(18 + 12 = 30\).
Ответ: 30.
Вычислите значение выражения \(5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}}5} + \frac{1}{2}\log_{5}4} + 36\log_{2}\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}\).
Разберём показатель степени. Дробь \(\frac{1}{\log_{\sqrt{3}} 5}\) — это логарифм с переставленными основанием и числом: \(\frac{1}{\log_{\sqrt{3}} 5} = \log_{5}\sqrt{3}\). Поэтому \(\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} = 4\log_{5} 3^{\frac{1}{2}} = 2\log_{5} 3 = \log_{5} 9\).
Второе слагаемое показателя: \(\frac{1}{2}\log_{5} 4 = \log_{5} 4^{\frac{1}{2}} = \log_{5} 2\). Значит, весь показатель равен \(\log_{5} 9 + \log_{5} 2 = \log_{5} 18\), и по основному логарифмическому тождеству \(5^{\log_{5} 18} = 18\).
Во втором слагаемом упростим подкоренное выражение: \(\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}} = \left(2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} = \left(2^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{3}}\). Тогда \(36\log_{2}\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}} = 36\log_{2} 2^{\frac{1}{3}} = 36 \cdot \frac{1}{3} = 12\). Имеем:
\[5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} + \frac{1}{2}\log_{5} 4} + 36\log_{2}\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}} = 18 + 12 = 30.\]
Ответ: 30.
