Страница 38 номер 4.33, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Упростите выражение \(\frac{1 - \log_{a}^{3}b}{\left(\log_{a}b + \log_{b}a + 1\right)\log_{a}\frac{a}{b}}\).
Запись \(\log_{a}^{3} b\) означает куб числа \(\log_{a} b\). Выражение определено при \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\), \(b \ne 1\) и ненулевом знаменателе.
Пусть \(\log_{a} b = t\). Тогда \(\log_{b} a = \frac{1}{t}\), причём \(t \ne 0\), поскольку \(b \ne 1\); кроме того, \(\log_{a}\frac{a}{b} = \log_{a} a - \log_{a} b = 1 - t\).
Числитель: \(1 - t^{3} = (1 - t)\left(t^{2} + t + 1\right)\).
Знаменатель: \(\left(t + \frac{1}{t} + 1\right)(1 - t) = \frac{t^{2} + t + 1}{t}\left(1 - t\right)\).
Дискриминант трёхчлена \(t^{2} + t + 1\) равен \(1 - 4 = -3\), поэтому в нуль этот трёхчлен не обращается, а знаменатель равен нулю только при \(t = 1\), то есть при \(b = a\); такие значения в область определения не входят, и на ней дробь можно сократить:
\[\frac{(1 - t)\left(t^{2} + t + 1\right) \cdot t}{\left(t^{2} + t + 1\right)(1 - t)} = t.\]
Возвращаясь к прежним обозначениям, получаем \(\log_{a} b\).
Ответ: \(\log_{a} b\).
Упростите выражение \(\frac{1 - \log_{a}^{3}b}{\left(\log_{a}b + \log_{b}a + 1\right)\log_{a}\frac{a}{b}}\).
Запись \(\log_{a}^{3} b\) означает куб числа \(\log_{a} b\). Выражение определено при \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\), \(b \ne 1\), причём знаменатель не должен обращаться в нуль.
Обозначим \(\log_{a} b = t\). Тогда \(\log_{b} a = \frac{1}{t}\), причём \(t \ne 0\), поскольку \(b \ne 1\). Кроме того, \(\log_{a}\frac{a}{b} = \log_{a} a - \log_{a} b = 1 - t\).
Числитель принимает вид \(1 - t^{3} = (1 - t)\left(t^{2} + t + 1\right)\), а знаменатель — вид \(\left(t + \frac{1}{t} + 1\right)(1 - t) = \frac{t^{2} + t + 1}{t}\left(1 - t\right)\).
Трёхчлен \(t^{2} + t + 1\) в нуль не обращается: его дискриминант \(1 - 4 = -3\) отрицателен. Поэтому знаменатель равен нулю только при \(t = 1\), то есть при \(b = a\); такие значения в область определения не входят, и на ней дробь можно сократить на \((1 - t)\left(t^{2} + t + 1\right)\):
\[\frac{1 - t^{3}}{\left(t + \frac{1}{t} + 1\right)(1 - t)} = \frac{(1 - t)\left(t^{2} + t + 1\right) \cdot t}{\left(t^{2} + t + 1\right)(1 - t)} = t.\]
Возвращаясь к прежним обозначениям, получаем \(\log_{a} b\).
Ответ: \(\log_{a} b\).
