Страница 44 номер 5.3, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. §5. Логарифмическая функция и её свойства. Страница 44. Номер 5.3

Решение:

1) Основание \(12 > 1\) — функция возрастающая. Так как \(5 < 6\), то \(\log_{12} 5 < \log_{12} 6\).

2) Основание \(5 > 1\) — функция возрастающая. Так как \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3}\), то \(\log_{5} \frac{1}{2} > \log_{5} \frac{1}{3}\).

3) Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы — функция убывающая. Так как \(2 < 4\), то \(\log_{\frac{1}{3}} 2 > \log_{\frac{1}{3}} 4\).

4) \(\frac{4}{5} = \frac{24}{30}\), \(\frac{5}{6} = \frac{25}{30}\), поэтому \(\frac{4}{5} < \frac{5}{6}\). Основание \(\frac{1}{9}\) меньше единицы — функция убывающая, поэтому \(\log_{\frac{1}{9}} \frac{4}{5} > \log_{\frac{1}{9}} \frac{5}{6}\).

5) Так как \(\pi > 2\), то \(\frac{\pi}{2} > 1\) — функция возрастающая. Так как \(0{,}7 > 0{,}6\), то \(\log_{\frac{\pi}{2}} 0{,}7 > \log_{\frac{\pi}{2}} 0{,}6\).

6) Так как \(\pi > 2{,}5\), то \(2\pi > 5\) и \(\frac{2\pi}{5} > 1\) — функция возрастающая. Так как \(8{,}4 > 8{,}3\), то \(\log_{\frac{2\pi}{5}} 8{,}4 > \log_{\frac{2\pi}{5}} 8{,}3\).

Ответ: 1) \(\log_{12} 5 < \log_{12} 6\); 2) \(\log_{5} \frac{1}{2} > \log_{5} \frac{1}{3}\); 3) \(\log_{\frac{1}{3}} 2 > \log_{\frac{1}{3}} 4\); 4) \(\log_{\frac{1}{9}} \frac{4}{5} > \log_{\frac{1}{9}} \frac{5}{6}\); 5) \(\log_{\frac{\pi}{2}} 0{,}7 > \log_{\frac{\pi}{2}} 0{,}6\); 6) \(\log_{\frac{2\pi}{5}} 8{,}4 > \log_{\frac{2\pi}{5}} 8{,}3\).

Решение:

1) Основание \(12 > 1\), поэтому функция \(y = \log_{12} x\) возрастающая. Так как \(5 < 6\), то \(\log_{12} 5 < \log_{12} 6\).

2) Основание \(5 > 1\), поэтому функция \(y = \log_{5} x\) возрастающая. Так как \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3}\), то \(\log_{5} \frac{1}{2} > \log_{5} \frac{1}{3}\).

3) Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывающая. Так как \(2 < 4\), то \(\log_{\frac{1}{3}} 2 > \log_{\frac{1}{3}} 4\).

4) Сравним аргументы: \(\frac{4}{5} = \frac{24}{30}\), \(\frac{5}{6} = \frac{25}{30}\), поэтому \(\frac{4}{5} < \frac{5}{6}\). Основание \(\frac{1}{9}\) меньше единицы, функция \(y = \log_{\frac{1}{9}} x\) убывающая, поэтому \(\log_{\frac{1}{9}} \frac{4}{5} > \log_{\frac{1}{9}} \frac{5}{6}\).

5) Так как \(\pi > 2\), то \(\frac{\pi}{2} > 1\) и функция \(y = \log_{\frac{\pi}{2}} x\) возрастающая. Так как \(0{,}7 > 0{,}6\), то \(\log_{\frac{\pi}{2}} 0{,}7 > \log_{\frac{\pi}{2}} 0{,}6\).

6) Так как \(\pi > 2{,}5\), то \(2\pi > 5\) и \(\frac{2\pi}{5} > 1\), поэтому функция \(y = \log_{\frac{2\pi}{5}} x\) возрастающая. Так как \(8{,}4 > 8{,}3\), то \(\log_{\frac{2\pi}{5}} 8{,}4 > \log_{\frac{2\pi}{5}} 8{,}3\).