Страница 38 номер 4.35, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что значение выражения \(\log_{7 + 4\sqrt{3}}(7 - 4\sqrt{3})\) является целым числом.
Основание \(7 + 4\sqrt{3}\) положительно и больше единицы. Число \(7 - 4\sqrt{3}\) положительно: \(4\sqrt{3} = \sqrt{48}\), а \(\sqrt{48} < \sqrt{49} = 7\).
\(\left(7 + 4\sqrt{3}\right)\left(7 - 4\sqrt{3}\right) = 49 - 48 = 1\), значит, эти числа взаимно обратны: \(7 - 4\sqrt{3} = \left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{-1}\).
\[\begin{aligned} &\log_{7 + 4\sqrt{3}}\left(7 - 4\sqrt{3}\right) = \log_{7 + 4\sqrt{3}}\left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{-1} = {} \\ &= -\log_{7 + 4\sqrt{3}}\left(7 + 4\sqrt{3}\right) = -1. \end{aligned}\]
Число \(-1\) целое, что и требовалось доказать.
Ответ: \(-1\).
Докажите, что значение выражения \(\log_{7 + 4\sqrt{3}}(7 - 4\sqrt{3})\) является целым числом.
Проверим сначала, что выражение имеет смысл. Основание \(7 + 4\sqrt{3}\) положительно и больше единицы. Число \(7 - 4\sqrt{3}\) положительно: \(4\sqrt{3} = \sqrt{48}\), а \(\sqrt{48} < \sqrt{49} = 7\).
Перемножим основание и число под знаком логарифма: \(\left(7 + 4\sqrt{3}\right)\left(7 - 4\sqrt{3}\right) = 49 - 48 = 1\). Значит, эти числа взаимно обратны: \(7 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = \left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{-1}\).
Вынесем показатель степени за знак логарифма:
\[\begin{aligned} &\log_{7 + 4\sqrt{3}}\left(7 - 4\sqrt{3}\right) = \log_{7 + 4\sqrt{3}}\left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{-1} = {} \\ &= -\log_{7 + 4\sqrt{3}}\left(7 + 4\sqrt{3}\right) = -1. \end{aligned}\]
Число \(-1\) целое, что и требовалось доказать.
Ответ: \(-1\).
