Страница 44 номер 5.4, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните: 1) \(\log_{0{,}9} \sqrt{3}\) и \(\log_{0{,}9} \sqrt{2}\); 2) \(\log_{7} \frac{2}{3}\) и \(\log_{7} \frac{1}{2}\); 3) \(\log_{\frac{2}{3}} 6{,}8\) и \(\log_{\frac{2}{3}} 6{,}9\); 4) \(\lg \frac{\pi}{3}\) и \(\lg \frac{\pi}{4}\).
1) Основание \(0{,}9\) меньше единицы — функция убывающая. Так как \(3 > 2\), то \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\), и потому \(\log_{0{,}9} \sqrt{3} < \log_{0{,}9} \sqrt{2}\).
2) Основание \(7 > 1\) — функция возрастающая. Так как \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\), а \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\), то \(\frac{2}{3} > \frac{1}{2}\), и потому \(\log_{7} \frac{2}{3} > \log_{7} \frac{1}{2}\).
3) Основание \(\frac{2}{3}\) меньше единицы — функция убывающая. Так как \(6{,}8 < 6{,}9\), то \(\log_{\frac{2}{3}} 6{,}8 > \log_{\frac{2}{3}} 6{,}9\).
4) Основание логарифмов равно 10 — функция возрастающая. Так как \(3 < 4\), то \(\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4}\), и потому \(\lg \frac{\pi}{3} > \lg \frac{\pi}{4}\).
Ответ: 1) \(\log_{0{,}9} \sqrt{3} < \log_{0{,}9} \sqrt{2}\); 2) \(\log_{7} \frac{2}{3} > \log_{7} \frac{1}{2}\); 3) \(\log_{\frac{2}{3}} 6{,}8 > \log_{\frac{2}{3}} 6{,}9\); 4) \(\lg \frac{\pi}{3} > \lg \frac{\pi}{4}\).
Сравните: 1) \(\log_{0{,}9} \sqrt{3}\) и \(\log_{0{,}9} \sqrt{2}\); 2) \(\log_{7} \frac{2}{3}\) и \(\log_{7} \frac{1}{2}\); 3) \(\log_{\frac{2}{3}} 6{,}8\) и \(\log_{\frac{2}{3}} 6{,}9\); 4) \(\lg \frac{\pi}{3}\) и \(\lg \frac{\pi}{4}\).
1) Основание \(0{,}9\) меньше единицы, поэтому функция \(y = \log_{0{,}9} x\) убывающая. Так как \(3 > 2\), то \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\), и потому \(\log_{0{,}9} \sqrt{3} < \log_{0{,}9} \sqrt{2}\).
2) Основание \(7 > 1\), поэтому функция \(y = \log_{7} x\) возрастающая. Сравним аргументы: \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\), \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\), поэтому \(\frac{2}{3} > \frac{1}{2}\). Значит, \(\log_{7} \frac{2}{3} > \log_{7} \frac{1}{2}\).
3) Основание \(\frac{2}{3}\) меньше единицы, поэтому функция \(y = \log_{\frac{2}{3}} x\) убывающая. Так как \(6{,}8 < 6{,}9\), то \(\log_{\frac{2}{3}} 6{,}8 > \log_{\frac{2}{3}} 6{,}9\).
4) Основание логарифмов равно 10, поэтому функция \(y = \lg x\) возрастающая. Так как \(3 < 4\), то \(\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4}\), и потому \(\lg \frac{\pi}{3} > \lg \frac{\pi}{4}\).
Ответ: 1) \(\log_{0{,}9} \sqrt{3} < \log_{0{,}9} \sqrt{2}\); 2) \(\log_{7} \frac{2}{3} > \log_{7} \frac{1}{2}\); 3) \(\log_{\frac{2}{3}} 6{,}8 > \log_{\frac{2}{3}} 6{,}9\); 4) \(\lg \frac{\pi}{3} > \lg \frac{\pi}{4}\).
