Страница 37 номер 4.21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \[\begin{aligned} &2^{3\log_{2} 5 + 4} = 2^{3\log_{2} 5} \cdot 2^{4} = {} \\ &= \left(2^{\log_{2} 5}\right)^{3} \cdot 16 = 125 \cdot 16 = 2000. \end{aligned}\]
2) Здесь \(8 = 2^{3}\), поэтому \[\begin{aligned} &8^{1 - \log_{2} 3} = 8 : 8^{\log_{2} 3} = 8 : \left(2^{3}\right)^{\log_{2} 3} = {} \\ &= 8 : \left(2^{\log_{2} 3}\right)^{3} = 8 : 27 = \frac{8}{27}. \end{aligned}\]
3) Приведём логарифм к основанию 3: \(\log_{9} 2 = \log_{3^{2}} 2 = \frac{1}{2}\log_{3} 2\). Тогда \[\begin{aligned} &\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{9} 2 - 3} = \left(3^{-1}\right)^{\frac{1}{2}\log_{3} 2 - 3} = 3^{3} \cdot 3^{-\frac{1}{2}\log_{3} 2} = {} \\ &= 27 \cdot \left(3^{\log_{3} 2}\right)^{-\frac{1}{2}} = 27 \cdot 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{27}{\sqrt{2}} = \frac{27\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\]
4) Здесь \(\log_{\sqrt{7}} 4 = \log_{7^{\frac{1}{2}}} 4 = 2\log_{7} 4\), поэтому \[\begin{aligned} &7^{2\log_{7} 3 + \log_{\sqrt{7}} 4} = 7^{2\log_{7} 3 + 2\log_{7} 4} = {} \\ &= 7^{\log_{7} 9 + \log_{7} 16} = 7^{\log_{7} 144} = 144. \end{aligned}\]
5) Здесь \(\log_{81} 2 = \log_{3^{4}} 2 = \frac{1}{4}\log_{3} 2\), поэтому \(4\log_{81} 2 = \log_{3} 2\), а весь показатель равен \(3\log_{3} 2\). Тогда \[\begin{aligned} &9^{2\log_{3} 2 + 4\log_{81} 2} = 9^{3\log_{3} 2} = \left(3^{2}\right)^{3\log_{3} 2} = {} \\ &= \left(3^{\log_{3} 2}\right)^{6} = 2^{6} = 64. \end{aligned}\]
6) Основание степени \(100 = 10^{2}\), поэтому показатель удваивается: \(2\left(\frac{1}{2}\lg 8 - 2\lg 2\right) = \lg 8 - \lg 2^{4} = \lg\frac{8}{16} = \lg 0{,}5\). Тогда \[\begin{aligned} &2 \cdot 100^{\frac{1}{2}\lg 8 - 2\lg 2} = 2 \cdot \left(10^{2}\right)^{\frac{1}{2}\lg 8 - 2\lg 2} = {} \\ &= 2 \cdot 10^{\lg 0{,}5} = 2 \cdot 0{,}5 = 1. \end{aligned}\]
7) \(25^{\log_{5} 0{,}8} = \left(5^{2}\right)^{\log_{5} 0{,}8} = \left(5^{\log_{5} 0{,}8}\right)^{2} = 0{,}8^{2} = 0{,}64\).
\(9^{\log_{3} 0{,}6} = \left(3^{2}\right)^{\log_{3} 0{,}6} = \left(3^{\log_{3} 0{,}6}\right)^{2} = 0{,}6^{2} = 0{,}36\).
Сумма слагаемых равна \(0{,}64 + 0{,}36 = 1\), поэтому \[\lg\left(25^{\log_{5} 0{,}8} + 9^{\log_{3} 0{,}6}\right) = \lg 1 = 0.\]
8) Переставим основание и число: \(\frac{1}{\log_{5} 3} = \log_{3} 5\), \(\frac{1}{\log_{2} 5} = \log_{5} 2\), \(\frac{1}{\log_{9} 6} = \log_{6} 9\).
\(27^{\log_{3} 5} = \left(3^{3}\right)^{\log_{3} 5} = \left(3^{\log_{3} 5}\right)^{3} = 5^{3} = 125\).
\(25^{\log_{5} 2} = \left(5^{2}\right)^{\log_{5} 2} = \left(5^{\log_{5} 2}\right)^{2} = 2^{2} = 4\).
\(36^{\log_{6} 9} = \left(6^{2}\right)^{\log_{6} 9} = \left(6^{\log_{6} 9}\right)^{2} = 9^{2} = 81\).
Всё выражение равно \(125 + 4 - 81 = 48\).
Ответ: 1) 2000; 2) \(\frac{8}{27}\); 3) \(\frac{27\sqrt{2}}{2}\); 4) 144; 5) 64; 6) 1; 7) 0; 8) 48.
В каждом пункте основания степени и логарифма приводим к общему, пользуемся свойствами степени и основным логарифмическим тождеством \(a^{\log_{a} b} = b\).
1) \[\begin{aligned} &2^{3\log_{2} 5 + 4} = 2^{3\log_{2} 5} \cdot 2^{4} = {} \\ &= \left(2^{\log_{2} 5}\right)^{3} \cdot 16 = 125 \cdot 16 = 2000. \end{aligned}\]
2) Так как \(8 = 2^{3}\), то \[\begin{aligned} &8^{1 - \log_{2} 3} = 8 : 8^{\log_{2} 3} = 8 : \left(2^{3}\right)^{\log_{2} 3} = {} \\ &= 8 : \left(2^{\log_{2} 3}\right)^{3} = 8 : 27 = \frac{8}{27}. \end{aligned}\]
3) Приведём логарифм к основанию 3 по свойству \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\): \(\log_{9} 2 = \log_{3^{2}} 2 = \frac{1}{2}\log_{3} 2\). Тогда \[\begin{aligned} &\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{9} 2 - 3} = \left(3^{-1}\right)^{\frac{1}{2}\log_{3} 2 - 3} = 3^{3} \cdot 3^{-\frac{1}{2}\log_{3} 2} = {} \\ &= 27 \cdot \left(3^{\log_{3} 2}\right)^{-\frac{1}{2}} = 27 \cdot 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{27}{\sqrt{2}} = \frac{27\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\]
4) По свойству \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\) имеем \(\log_{\sqrt{7}} 4 = \log_{7^{\frac{1}{2}}} 4 = 2\log_{7} 4\). Тогда \[\begin{aligned} &7^{2\log_{7} 3 + \log_{\sqrt{7}} 4} = 7^{2\log_{7} 3 + 2\log_{7} 4} = {} \\ &= 7^{\log_{7} 9 + \log_{7} 16} = 7^{\log_{7} 144} = 144. \end{aligned}\]
5) По свойству \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\) имеем \(\log_{81} 2 = \log_{3^{4}} 2 = \frac{1}{4}\log_{3} 2\), поэтому \(4\log_{81} 2 = \log_{3} 2\), а весь показатель равен \(3\log_{3} 2\). Тогда \[\begin{aligned} &9^{2\log_{3} 2 + 4\log_{81} 2} = 9^{3\log_{3} 2} = \left(3^{2}\right)^{3\log_{3} 2} = {} \\ &= \left(3^{\log_{3} 2}\right)^{6} = 2^{6} = 64. \end{aligned}\]
6) Основание степени \(100 = 10^{2}\), а при возведении степени в степень показатели перемножаются: \(2\left(\frac{1}{2}\lg 8 - 2\lg 2\right) = \lg 8 - \lg 2^{4} = \lg\frac{8}{16} = \lg 0{,}5\). Тогда \[\begin{aligned} &2 \cdot 100^{\frac{1}{2}\lg 8 - 2\lg 2} = 2 \cdot \left(10^{2}\right)^{\frac{1}{2}\lg 8 - 2\lg 2} = {} \\ &= 2 \cdot 10^{\lg 0{,}5} = 2 \cdot 0{,}5 = 1. \end{aligned}\]
7) Вычислим слагаемые под знаком логарифма: \(25^{\log_{5} 0{,}8} = \left(5^{2}\right)^{\log_{5} 0{,}8} = \left(5^{\log_{5} 0{,}8}\right)^{2} = 0{,}8^{2} = 0{,}64\) и \(9^{\log_{3} 0{,}6} = \left(3^{2}\right)^{\log_{3} 0{,}6} = \left(3^{\log_{3} 0{,}6}\right)^{2} = 0{,}6^{2} = 0{,}36\). Их сумма равна \(0{,}64 + 0{,}36 = 1\), поэтому \[\lg\left(25^{\log_{5} 0{,}8} + 9^{\log_{3} 0{,}6}\right) = \lg 1 = 0.\]
8) Дробь вида \(\frac{1}{\log_{a} b}\) — это логарифм с переставленными основанием и числом: \(\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}\). Значит, \(\frac{1}{\log_{5} 3} = \log_{3} 5\), \(\frac{1}{\log_{2} 5} = \log_{5} 2\), \(\frac{1}{\log_{9} 6} = \log_{6} 9\). Вычислим слагаемые: \(27^{\log_{3} 5} = \left(3^{3}\right)^{\log_{3} 5} = \left(3^{\log_{3} 5}\right)^{3} = 5^{3} = 125\); \(25^{\log_{5} 2} = \left(5^{2}\right)^{\log_{5} 2} = \left(5^{\log_{5} 2}\right)^{2} = 2^{2} = 4\); \(36^{\log_{6} 9} = \left(6^{2}\right)^{\log_{6} 9} = \left(6^{\log_{6} 9}\right)^{2} = 9^{2} = 81\). Тогда всё выражение равно \(125 + 4 - 81 = 48\).
Ответ: 1) 2000; 2) \(\frac{8}{27}\); 3) \(\frac{27\sqrt{2}}{2}\); 4) 144; 5) 64; 6) 1; 7) 0; 8) 48.
