Страница 36 номер 4.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Представьте: 1) число 3 в виде степени числа 8; 2) число \(\sqrt[3]{6}\) в виде степени числа \(\frac{1}{2}\).
1) \(3 = 8^{\log_{8} 3}\).
2) \(\sqrt[3]{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{6}}\), а показатель равен \(\log_{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{6} = \log_{\frac{1}{2}} 6^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\log_{\frac{1}{2}} 6\), значит, \(\sqrt[3]{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}\log_{\frac{1}{2}} 6}\).
Ответ: 1) \(3 = 8^{\log_{8} 3}\); 2) \(\sqrt[3]{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}\log_{\frac{1}{2}} 6}\).
Представьте: 1) число 3 в виде степени числа 8; 2) число \(\sqrt[3]{6}\) в виде степени числа \(\frac{1}{2}\).
По основному логарифмическому тождеству \(a^{\log_{a} b} = b\) положительное число \(b\) записывается в виде степени любого основания \(a\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\): показателем служит \(\log_{a} b\).
1) \(3 = 8^{\log_{8} 3}\).
2) \(\sqrt[3]{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{6}}\), а показатель упрощается по теореме о логарифме степени: \(\log_{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{6} = \log_{\frac{1}{2}} 6^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\log_{\frac{1}{2}} 6\). Значит, \(\sqrt[3]{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}\log_{\frac{1}{2}} 6}\).
Ответ: 1) \(3 = 8^{\log_{8} 3}\); 2) \(\sqrt[3]{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}\log_{\frac{1}{2}} 6}\).
