Страница 40 номер 4.47, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что \(\frac{\log_{a} x}{\log_{ab} x} = 1 + \log_{a} b\).
Равенство имеет смысл при \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\), \(ab \ne 1\), \(x > 0\) и \(x \ne 1\): последнее условие даёт \(\log_{ab} x \ne 0\), то есть знаменатель левой части отличен от нуля.
В логарифме \(\log_{ab} x\) перейдём к основанию \(a\): \(\log_{ab} x = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} ab}\), где \(\log_{a} ab = \log_{a} a + \log_{a} b = 1 + \log_{a} b\), поэтому \(\log_{ab} x = \frac{\log_{a} x}{1 + \log_{a} b}\).
Так как \(x \ne 1\), то \(\log_{a} x \ne 0\), и на этот множитель можно сократить:
\[\begin{aligned} &\frac{\log_{a} x}{\log_{ab} x} = \log_{a} x : \frac{\log_{a} x}{1 + \log_{a} b} = {} \\ &= \log_{a} x \cdot \frac{1 + \log_{a} b}{\log_{a} x} = 1 + \log_{a} b. \end{aligned}\]
Левая часть оказалась равной правой, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано при \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\), \(ab \ne 1\), \(x > 0\), \(x \ne 1\).
Докажите, что \(\frac{\log_{a} x}{\log_{ab} x} = 1 + \log_{a} b\).
Равенство имеет смысл при \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\), \(ab \ne 1\), \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Последнее условие нужно для того, чтобы знаменатель левой части был отличен от нуля: \(\log_{ab} x = 0\) только при \(x = 1\).
В логарифме \(\log_{ab} x\) перейдём к основанию \(a\): \(\log_{ab} x = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} ab}\). По свойству логарифма произведения \(\log_{a} ab = \log_{a} a + \log_{a} b = 1 + \log_{a} b\), поэтому \(\log_{ab} x = \frac{\log_{a} x}{1 + \log_{a} b}\).
Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства. Так как \(x \ne 1\), то \(\log_{a} x \ne 0\), и на этот множитель можно сократить:
\[\begin{aligned} &\frac{\log_{a} x}{\log_{ab} x} = \log_{a} x : \frac{\log_{a} x}{1 + \log_{a} b} = {} \\ &= \log_{a} x \cdot \frac{1 + \log_{a} b}{\log_{a} x} = 1 + \log_{a} b. \end{aligned}\]
Левая часть оказалась равной правой, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано при \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\), \(ab \ne 1\), \(x > 0\), \(x \ne 1\).
