Страница 39 номер 4.38, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Последний множитель равен нулю: \(\sin 90^{\circ} = 1\), поэтому \(\lg\sin 90^{\circ} = \lg 1 = 0\), а с ним и всё произведение.
2) Углы идут через \(5^{\circ}\), поэтому среди них есть \(45^{\circ}\). Так как \(\operatorname{tg} 45^{\circ} = 1\), то \(\lg\operatorname{tg} 45^{\circ} = \lg 1 = 0\), и всё произведение равно нулю.
3) Логарифм здесь один, и он обращается в нуль только тогда, когда произведение под его знаком равно единице. Так как \(\operatorname{tg}\left(90^{\circ} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha\), то \(\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\left(90^{\circ} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1\).
Углов \(30^{\circ}\), \(32^{\circ}\), \(34^{\circ}\), …, \(58^{\circ}\), \(60^{\circ}\) ровно шестнадцать, и они разбиваются на восемь пар с суммой \(90^{\circ}\): \(\left(30^{\circ};\ 60^{\circ}\right)\), \(\left(32^{\circ};\ 58^{\circ}\right)\), …, \(\left(44^{\circ};\ 46^{\circ}\right)\), — произведение тангенсов в каждой паре равно 1. Значит, произведение под знаком логарифма равно 1, а \(\lg 1 = 0\).
4) Тангенсы всех углов от \(1^{\circ}\) до \(89^{\circ}\) положительны, поэтому \(\lg\operatorname{tg} 1^{\circ} + \lg\operatorname{tg} 2^{\circ} + \ldots + \lg\operatorname{tg} 89^{\circ} = \lg\left(\operatorname{tg} 1^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot \operatorname{tg} 89^{\circ}\right)\).
Все множители, кроме \(\operatorname{tg} 45^{\circ}\), разбиваются на 44 пары с суммой углов \(90^{\circ}\), и произведение тангенсов в каждой паре равно 1. Так как и \(\operatorname{tg} 45^{\circ} = 1\), всё произведение равно 1, а \(\lg 1 = 0\).
Ответ: 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0.
1) Последний множитель равен нулю: \(\sin 90^{\circ} = 1\), поэтому \(\lg\sin 90^{\circ} = \lg 1 = 0\). Произведение, среди множителей которого есть нуль, равно нулю.
2) Углы идут через \(5^{\circ}\): \(10^{\circ}\), \(15^{\circ}\), \(20^{\circ}\), …, \(75^{\circ}\), \(80^{\circ}\), — поэтому среди них есть \(45^{\circ}\). Так как \(\operatorname{tg} 45^{\circ} = 1\), то \(\lg\operatorname{tg} 45^{\circ} = \lg 1 = 0\), и всё произведение равно нулю.
3) Логарифм здесь один, и он обращается в нуль только тогда, когда произведение под его знаком равно единице. Покажем, что так и есть. Воспользуемся тем, что \(\operatorname{tg}\left(90^{\circ} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha\), а значит, \(\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\left(90^{\circ} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1\).
Углов \(30^{\circ}\), \(32^{\circ}\), \(34^{\circ}\), …, \(58^{\circ}\), \(60^{\circ}\) ровно шестнадцать. Разобьём их на пары с суммой \(90^{\circ}\): \(\left(30^{\circ};\ 60^{\circ}\right)\), \(\left(32^{\circ};\ 58^{\circ}\right)\), \(\left(34^{\circ};\ 56^{\circ}\right)\), …, \(\left(44^{\circ};\ 46^{\circ}\right)\) — всего восемь пар, и произведение тангенсов в каждой паре равно 1. Значит, произведение под знаком логарифма равно 1, а \(\lg 1 = 0\).
4) Тангенсы всех углов от \(1^{\circ}\) до \(89^{\circ}\) положительны, поэтому сумму логарифмов можно свернуть в логарифм произведения: \(\lg\operatorname{tg} 1^{\circ} + \lg\operatorname{tg} 2^{\circ} + \ldots + \lg\operatorname{tg} 89^{\circ} = \lg\left(\operatorname{tg} 1^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot \operatorname{tg} 89^{\circ}\right)\).
Все множители, кроме \(\operatorname{tg} 45^{\circ}\), разбиваются на 44 пары с суммой углов \(90^{\circ}\): \(\left(1^{\circ};\ 89^{\circ}\right)\), \(\left(2^{\circ};\ 88^{\circ}\right)\), …, \(\left(44^{\circ};\ 46^{\circ}\right)\); произведение тангенсов в каждой паре равно 1. Так как и \(\operatorname{tg} 45^{\circ} = 1\), всё произведение равно 1, а \(\lg 1 = 0\).
Ответ: 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0.
