Страница 45 номер 5.8, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните с нулём: 1) \(\log_{4} 5\); 2) \(\log_{2} \frac{1}{3}\); 3) \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}\); 4) \(\log_{\frac{\pi}{3}} 2\).
1) Основание \(4 > 1\) — функция возрастающая. Так как \(5 > 1\), то \(\log_{4} 5 > \log_{4} 1 = 0\), то есть \(\log_{4} 5 > 0\).
2) Основание \(2 > 1\) — функция возрастающая. Так как \(\frac{1}{3} < 1\), то \(\log_{2} \frac{1}{3} < \log_{2} 1 = 0\), то есть \(\log_{2} \frac{1}{3} < 0\).
3) Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы — функция убывающая. Так как \(\frac{1}{2} < 1\), то \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0\), то есть \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > 0\).
4) Так как \(\pi > 3\), то \(\frac{\pi}{3} > 1\) — функция возрастающая. Так как \(2 > 1\), то \(\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > \log_{\frac{\pi}{3}} 1 = 0\), то есть \(\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > 0\).
Ответ: 1) \(\log_{4} 5 > 0\); 2) \(\log_{2} \frac{1}{3} < 0\); 3) \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > 0\); 4) \(\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > 0\).
Сравните с нулём: 1) \(\log_{4} 5\); 2) \(\log_{2} \frac{1}{3}\); 3) \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}\); 4) \(\log_{\frac{\pi}{3}} 2\).
Единственный нуль логарифмической функции — \(x = 1\), поэтому сравнение логарифма с нулём — это сравнение его со значением \(\log_{a} 1\).
1) Основание \(4 > 1\), функция \(y = \log_{4} x\) возрастающая. Так как \(5 > 1\), то \(\log_{4} 5 > \log_{4} 1 = 0\), то есть \(\log_{4} 5 > 0\).
2) Основание \(2 > 1\), функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая. Так как \(\frac{1}{3} < 1\), то \(\log_{2} \frac{1}{3} < \log_{2} 1 = 0\), то есть \(\log_{2} \frac{1}{3} < 0\).
3) Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывающая. Так как \(\frac{1}{2} < 1\), то \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0\), то есть \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > 0\).
4) Так как \(\pi > 3\), то \(\frac{\pi}{3} > 1\) и функция \(y = \log_{\frac{\pi}{3}} x\) возрастающая. Так как \(2 > 1\), то \(\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > \log_{\frac{\pi}{3}} 1 = 0\), то есть \(\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > 0\).
Ответ: 1) \(\log_{4} 5 > 0\); 2) \(\log_{2} \frac{1}{3} < 0\); 3) \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > 0\); 4) \(\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > 0\).
