Страница 39 номер 4.43, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству: 1) \(\lg xy = \lg x + \lg y\); 2) \(\lg xy = \lg(-x) + \lg(-y)\); 3) \(\lg x^{2} + \lg y^{2} = 2\lg|x| + 2\lg|y|\); 4) \(\log_{x^{2}}y^{2} = \log_{x}(-y)\).
Границы найденных множеств в них не входят — это штриховые линии.
1) Правая часть определена при \(x > 0\) и \(y > 0\); тогда \(xy > 0\), левая часть тоже определена, и \(\lg x + \lg y = \lg xy\) — равенство выполняется. При \(x \leqslant 0\) или \(y \leqslant 0\) правая часть смысла не имеет. Искомое множество — открытая первая координатная четверть.
2) Правая часть определена при \(-x > 0\) и \(-y > 0\), то есть при \(x < 0\) и \(y < 0\); тогда \(xy > 0\), левая часть определена, и \(\lg(-x) + \lg(-y) = \lg\left((-x)(-y)\right) = \lg xy\) — равенство выполняется. Искомое множество — открытая третья координатная четверть.
3) Левая часть определена при \(x^{2} > 0\) и \(y^{2} > 0\), то есть при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\); правая — при \(|x| > 0\) и \(|y| > 0\), то есть при тех же условиях.
При \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\) верно \(x^{2} = |x|^{2}\) и \(y^{2} = |y|^{2}\), а числа \(|x|\) и \(|y|\) положительны, поэтому \(\lg x^{2} = 2\lg|x|\) и \(\lg y^{2} = 2\lg|y|\) — равенство выполняется во всех точках области определения. Искомое множество — все четыре открытые координатные четверти, то есть вся плоскость без осей координат.
4) Правая часть определена при \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(y < 0\); левая — при \(x \ne 0\), \(x \ne 1\), \(x \ne -1\), \(y \ne 0\). Обе части определены при \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(y < 0\).
Основание \(x^{2}\) — степень числа \(x\), поэтому \(\log_{x^{2}} y^{2} = \frac{1}{2}\log_{x} y^{2}\). Далее \(y^{2} = |y|^{2}\), а число \(|y|\) положительно, откуда \(\frac{1}{2}\log_{x} y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\log_{x}|y| = \log_{x}|y|\); при \(y < 0\) имеем \(|y| = -y\), значит, равенство выполняется во всех точках множества. Это открытая четвёртая координатная четверть без прямой \(x = 1\).
Ответ: 1) открытая первая координатная четверть; 2) открытая третья координатная четверть; 3) все четыре открытые координатные четверти, то есть плоскость без осей координат; 4) открытая четвёртая координатная четверть без прямой \(x = 1\).
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству: 1) \(\lg xy = \lg x + \lg y\); 2) \(\lg xy = \lg(-x) + \lg(-y)\); 3) \(\lg x^{2} + \lg y^{2} = 2\lg|x| + 2\lg|y|\); 4) \(\log_{x^{2}}y^{2} = \log_{x}(-y)\).
Равенство имеет смысл только там, где определены обе его части. Поэтому в каждом пункте найдём множество, на котором определены и левая, и правая части, а потом проверим, выполняется ли на нём равенство. Границы найденного множества в него не входят — это штриховые линии.
1) Правая часть определена при \(x > 0\) и \(y > 0\). При этих значениях \(xy > 0\), поэтому определена и левая часть, а по свойству логарифма произведения \(\lg xy = \lg x + \lg y\) — равенство выполняется. Если же \(x \leqslant 0\) или \(y \leqslant 0\), правая часть смысла не имеет. Искомое множество — открытая первая координатная четверть.
2) Правая часть определена при \(-x > 0\) и \(-y > 0\), то есть при \(x < 0\) и \(y < 0\). Тогда \(xy > 0\), левая часть определена, и \(\lg(-x) + \lg(-y) = \lg\left((-x)(-y)\right) = \lg xy\) — равенство выполняется. Искомое множество — открытая третья координатная четверть.
3) Левая часть определена при \(x^{2} > 0\) и \(y^{2} > 0\), то есть при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). Правая часть определена при \(|x| > 0\) и \(|y| > 0\) — при тех же условиях.
При \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\) верно \(x^{2} = |x|^{2}\) и \(y^{2} = |y|^{2}\), а числа \(|x|\) и \(|y|\) положительны, поэтому \(\lg x^{2} = 2\lg|x|\) и \(\lg y^{2} = 2\lg|y|\) — равенство выполняется во всех точках области определения. Искомое множество — все четыре открытые координатные четверти, то есть вся плоскость без осей координат.
4) Правая часть определена, когда основание \(x\) положительно и отлично от единицы, а число \(-y\) положительно: \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(y < 0\). Левая часть определена, когда \(x^{2} > 0\) и \(x^{2} \ne 1\), то есть \(x \ne 0\), \(x \ne 1\) и \(x \ne -1\), а также \(y^{2} > 0\), то есть \(y \ne 0\). Обе части определены при \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(y < 0\).
Основание \(x^{2}\) — степень числа \(x\), поэтому \(\log_{x^{2}} y^{2} = \frac{1}{2}\log_{x} y^{2}\). Далее \(y^{2} = |y|^{2}\), а число \(|y|\) положительно, откуда \(\frac{1}{2}\log_{x} y^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\log_{x}|y| = \log_{x}|y|\). При \(y < 0\) имеем \(|y| = -y\), значит, равенство выполняется во всех точках множества. Это открытая четвёртая координатная четверть без прямой \(x = 1\).
Ответ: 1) открытая первая координатная четверть; 2) открытая третья координатная четверть; 3) все четыре открытые координатные четверти, то есть плоскость без осей координат; 4) открытая четвёртая координатная четверть без прямой \(x = 1\).
