Страница 38 номер 4.32, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите значение выражения \(6^{\frac{6}{\log_{\sqrt{2}}6} + \frac{1}{3}\log_{6}27} - 12\log_{7}\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}\).
Переставим основание и число: \(\frac{1}{\log_{\sqrt{2}} 6} = \log_{6}\sqrt{2}\), поэтому \(\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} = 6\log_{6} 2^{\frac{1}{2}} = 3\log_{6} 2 = \log_{6} 8\).
Второе слагаемое показателя: \(\frac{1}{3}\log_{6} 27 = \log_{6} 27^{\frac{1}{3}} = \log_{6} 3\). Весь показатель равен \(\log_{6} 8 + \log_{6} 3 = \log_{6} 24\), откуда \(6^{\log_{6} 24} = 24\).
Во втором слагаемом \(\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}} = \left(7 \cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{5}} = \left(7^{\frac{5}{4}}\right)^{\frac{1}{5}} = 7^{\frac{1}{4}}\), поэтому \(12\log_{7}\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}} = 12\log_{7} 7^{\frac{1}{4}} = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3\).
Значение выражения равно \(24 - 3 = 21\).
Ответ: 21.
Вычислите значение выражения \(6^{\frac{6}{\log_{\sqrt{2}}6} + \frac{1}{3}\log_{6}27} - 12\log_{7}\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}\).
Разберём показатель степени. Дробь \(\frac{1}{\log_{\sqrt{2}} 6}\) — это логарифм с переставленными основанием и числом: \(\frac{1}{\log_{\sqrt{2}} 6} = \log_{6}\sqrt{2}\). Поэтому \(\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} = 6\log_{6} 2^{\frac{1}{2}} = 3\log_{6} 2 = \log_{6} 8\).
Второе слагаемое показателя: \(\frac{1}{3}\log_{6} 27 = \log_{6} 27^{\frac{1}{3}} = \log_{6} 3\). Значит, весь показатель равен \(\log_{6} 8 + \log_{6} 3 = \log_{6} 24\), и по основному логарифмическому тождеству \(6^{\log_{6} 24} = 24\).
Во втором слагаемом упростим подкоренное выражение: \(\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}} = \left(7 \cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{5}} = \left(7^{\frac{5}{4}}\right)^{\frac{1}{5}} = 7^{\frac{1}{4}}\). Тогда \(12\log_{7}\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}} = 12\log_{7} 7^{\frac{1}{4}} = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3\). Имеем:
\[6^{\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} + \frac{1}{3}\log_{6} 27} - 12\log_{7}\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}} = 24 - 3 = 21.\]
Ответ: 21.
