Страница 38 номер 4.27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите значение выражения: 1) \(\frac{\log_{7}27 - 2\log_{7}3}{\log_{7}45 + \log_{7}0{,}2}\); 2) \(\frac{\log_{9}125 + 3\log_{9}2}{\log_{9}1{,}2 - \log_{9}12}\).
1) Числитель: \(\log_{7} 27 - 2\log_{7} 3 = \log_{7} 27 - \log_{7} 9 = \log_{7} 3\).
Знаменатель: \(\log_{7} 45 + \log_{7} 0{,}2 = \log_{7}(45 \cdot 0{,}2) = \log_{7} 9 = 2\log_{7} 3\).
Число 3 отлично от единицы, поэтому \(\log_{7} 3 \ne 0\) и на этот множитель можно сократить: дробь равна \(\frac{\log_{7} 3}{2\log_{7} 3} = \frac{1}{2}\).
2) Числитель: \(\log_{9} 125 + 3\log_{9} 2 = \log_{9} 125 + \log_{9} 8 = \log_{9} 1000 = 3\log_{9} 10\).
Знаменатель: \(\log_{9} 1{,}2 - \log_{9} 12 = \log_{9}\frac{1{,}2}{12} = \log_{9} 0{,}1 = -\log_{9} 10\).
Число 10 отлично от единицы, поэтому \(\log_{9} 10 \ne 0\), и дробь равна \(\frac{3\log_{9} 10}{-\log_{9} 10} = -3\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{2}\); 2) \(-3\).
Вычислите значение выражения: 1) \(\frac{\log_{7}27 - 2\log_{7}3}{\log_{7}45 + \log_{7}0{,}2}\); 2) \(\frac{\log_{9}125 + 3\log_{9}2}{\log_{9}1{,}2 - \log_{9}12}\).
1) Свернём числитель и знаменатель в один логарифм: \(\log_{7} 27 - 2\log_{7} 3 = \log_{7} 27 - \log_{7} 9 = \log_{7} 3\), а \(\log_{7} 45 + \log_{7} 0{,}2 = \log_{7}(45 \cdot 0{,}2) = \log_{7} 9 = 2\log_{7} 3\). Число 3 отлично от единицы, поэтому \(\log_{7} 3 \ne 0\) и на этот множитель можно сократить. Имеем:
\[\frac{\log_{7} 27 - 2\log_{7} 3}{\log_{7} 45 + \log_{7} 0{,}2} = \frac{\log_{7} 3}{2\log_{7} 3} = \frac{1}{2}.\]
2) Аналогично \(\log_{9} 125 + 3\log_{9} 2 = \log_{9} 125 + \log_{9} 8 = \log_{9} 1000 = 3\log_{9} 10\), а \(\log_{9} 1{,}2 - \log_{9} 12 = \log_{9}\frac{1{,}2}{12} = \log_{9} 0{,}1 = -\log_{9} 10\). Число 10 отлично от единицы, поэтому \(\log_{9} 10 \ne 0\). Имеем:
\[\frac{\log_{9} 125 + 3\log_{9} 2}{\log_{9} 1{,}2 - \log_{9} 12} = \frac{3\log_{9} 10}{-\log_{9} 10} = -3.\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{2}\); 2) \(-3\).
