Страница 37 номер 4.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите: 1) \(\log_{3}\log_{\frac{1}{5}}\frac{1}{125}\); 2) \(\log_{\frac{1}{3}}\log_{4}64\); 3) \(\log_{6}\operatorname{tg}225^\circ\); 4) \(\log_{\sqrt{3}}\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\).
1) \(\log_{\frac{1}{5}}\frac{1}{125} = 3\), так как \(\left(\frac{1}{5}\right)^{3} = \frac{1}{125}\). Тогда \(\log_{3}\log_{\frac{1}{5}}\frac{1}{125} = \log_{3} 3 = 1\).
2) \(\log_{4} 64 = 3\), так как \(4^{3} = 64\). Тогда \(\log_{\frac{1}{3}}\log_{4} 64 = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1\), так как \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\).
3) Период тангенса равен \(180^{\circ}\), поэтому \(\operatorname{tg} 225^{\circ} = \operatorname{tg}\left(45^{\circ} + 180^{\circ}\right) = \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1\). Тогда \(\log_{6}\operatorname{tg} 225^{\circ} = \log_{6} 1 = 0\).
4) \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому \(\log_{\sqrt{3}}\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \log_{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{3}} = -1\), так как \(\left(\sqrt{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Ответ: 1) 1; 2) \(-1\); 3) 0; 4) \(-1\).
Вычислите: 1) \(\log_{3}\log_{\frac{1}{5}}\frac{1}{125}\); 2) \(\log_{\frac{1}{3}}\log_{4}64\); 3) \(\log_{6}\operatorname{tg}225^\circ\); 4) \(\log_{\sqrt{3}}\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\).
Вычисление ведём изнутри: сначала находим значение выражения под знаком внешнего логарифма, потом берём сам логарифм. Каждый раз пользуемся определением логарифма.
1) Внутренний логарифм: \(\log_{\frac{1}{5}}\frac{1}{125} = 3\), так как \(\left(\frac{1}{5}\right)^{3} = \frac{1}{125}\). Тогда \(\log_{3}\log_{\frac{1}{5}}\frac{1}{125} = \log_{3} 3 = 1\).
2) Внутренний логарифм: \(\log_{4} 64 = 3\), так как \(4^{3} = 64\). Тогда \(\log_{\frac{1}{3}}\log_{4} 64 = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1\), так как \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\).
3) Период тангенса равен \(180^{\circ}\), поэтому \(\operatorname{tg} 225^{\circ} = \operatorname{tg}\left(45^{\circ} + 180^{\circ}\right) = \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1\). Тогда \(\log_{6}\operatorname{tg} 225^{\circ} = \log_{6} 1 = 0\).
4) Под знаком логарифма стоит \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Тогда \(\log_{\sqrt{3}}\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \log_{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{3}} = -1\), так как \(\left(\sqrt{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Ответ: 1) 1; 2) \(-1\); 3) 0; 4) \(-1\).
