Страница 36 номер 4.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите значение выражения: 1) \(\log_{6}3 + \log_{6}2\); 2) \(\log_{5}100 - \log_{5}4\); 3) \(\log_{49}84 - \log_{49}12\); 4) \(\log_{2}5 - \log_{2}35 + \log_{2}56\); 5) \(\frac{\log_{5}64}{\log_{5}4}\); 6) \(2\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 16\).
1) \(\log_{6} 3 + \log_{6} 2 = \log_{6}(3 \cdot 2) = \log_{6} 6 = 1\).
2) \(\log_{5} 100 - \log_{5} 4 = \log_{5}\frac{100}{4} = \log_{5} 25 = 2\), так как \(5^{2} = 25\).
3) \(\log_{49} 84 - \log_{49} 12 = \log_{49}\frac{84}{12} = \log_{49} 7 = \frac{1}{2}\), так как \(49^{\frac{1}{2}} = 7\).
4) \[\log_{2} 5 - \log_{2} 35 + \log_{2} 56 = \log_{2}\frac{5}{35} + \log_{2} 56 = \log_{2}\frac{5 \cdot 56}{35} = \log_{2} 8 = 3.\]
5) \(\frac{\log_{5} 64}{\log_{5} 4} = \log_{4} 64 = 3\), так как \(4^{3} = 64\).
6) \[2\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 16 = \lg 5^{2} + \lg 16^{\frac{1}{2}} = \lg 25 + \lg 4 = \lg 100 = 2.\]
Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) \(\frac{1}{2}\); 4) 3; 5) 3; 6) 2.
Найдите значение выражения: 1) \(\log_{6}3 + \log_{6}2\); 2) \(\log_{5}100 - \log_{5}4\); 3) \(\log_{49}84 - \log_{49}12\); 4) \(\log_{2}5 - \log_{2}35 + \log_{2}56\); 5) \(\frac{\log_{5}64}{\log_{5}4}\); 6) \(2\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 16\).
Каждое выражение сворачиваем в один логарифм — по теоремам о логарифме произведения, частного и степени либо по формуле перехода к другому основанию, — а затем берём этот логарифм по определению.
1) \(\log_{6} 3 + \log_{6} 2 = \log_{6}(3 \cdot 2) = \log_{6} 6 = 1\).
2) \(\log_{5} 100 - \log_{5} 4 = \log_{5}\frac{100}{4} = \log_{5} 25 = 2\), так как \(5^{2} = 25\).
3) \(\log_{49} 84 - \log_{49} 12 = \log_{49}\frac{84}{12} = \log_{49} 7 = \frac{1}{2}\), так как \(49^{\frac{1}{2}} = 7\).
4) \[\log_{2} 5 - \log_{2} 35 + \log_{2} 56 = \log_{2}\frac{5}{35} + \log_{2} 56 = \log_{2}\frac{5 \cdot 56}{35} = \log_{2} 8 = 3.\]
5) Формула перехода к другому основанию \(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\), прочитанная справа налево, даёт \(\frac{\log_{5} 64}{\log_{5} 4} = \log_{4} 64 = 3\), так как \(4^{3} = 64\).
6) \[2\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 16 = \lg 5^{2} + \lg 16^{\frac{1}{2}} = \lg 25 + \lg 4 = \lg 100 = 2.\]
Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) \(\frac{1}{2}\); 4) 3; 5) 3; 6) 2.
