Страница 36 номер 4.13, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(2^{\log_{2} 32} = 32\).
2) \(5^{\log_{5} 0{,}45} = 0{,}45\).
3) \(7^{2\log_{7} 2} = \left(7^{\log_{7} 2}\right)^{2} = 2^{2} = 4\).
4) Здесь \(64 = 2^{6}\), поэтому \[\begin{aligned} &64^{0{,}5\log_{2} 12} = \left(2^{6}\right)^{0{,}5\log_{2} 12} = 2^{3\log_{2} 12} = {} \\ &= \left(2^{\log_{2} 12}\right)^{3} = 12^{3} = 1728. \end{aligned}\]
5) Здесь \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), поэтому \[\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{3} 6} = \left(3^{-1}\right)^{\log_{3} 6} = \left(3^{\log_{3} 6}\right)^{-1} = 6^{-1} = \frac{1}{6}.\]
6) \(6^{1 + \log_{6} 5} = 6 \cdot 6^{\log_{6} 5} = 6 \cdot 5 = 30\).
7) \[\left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{\frac{2}{3}} 8 - 2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{\frac{2}{3}} 8} : \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = 8 : \frac{4}{9} = 8 \cdot \frac{9}{4} = 18.\]
8) Здесь \(\frac{1}{6} = 6^{-1}\), поэтому \(\log_{\frac{1}{6}} 3 = -\log_{6} 3\). Тогда \[6^{\log_{\frac{1}{6}} 3} = 6^{-\log_{6} 3} = \left(6^{\log_{6} 3}\right)^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}.\]
Ответ: 1) 32; 2) \(0{,}45\); 3) 4; 4) 1728; 5) \(\frac{1}{6}\); 6) 30; 7) 18; 8) \(\frac{1}{3}\).
Вычисления опираются на основное логарифмическое тождество \(a^{\log_{a} b} = b\) и на свойства степени.
1) По основному логарифмическому тождеству \(2^{\log_{2} 32} = 32\).
2) По основному логарифмическому тождеству \(5^{\log_{5} 0{,}45} = 0{,}45\).
3) \(7^{2\log_{7} 2} = \left(7^{\log_{7} 2}\right)^{2} = 2^{2} = 4\).
4) Основание степени приведём к основанию логарифма: \(64 = 2^{6}\). Тогда \[\begin{aligned} &64^{0{,}5\log_{2} 12} = \left(2^{6}\right)^{0{,}5\log_{2} 12} = 2^{3\log_{2} 12} = {} \\ &= \left(2^{\log_{2} 12}\right)^{3} = 12^{3} = 1728. \end{aligned}\]
5) Так как \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), то \[\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{3} 6} = \left(3^{-1}\right)^{\log_{3} 6} = \left(3^{\log_{3} 6}\right)^{-1} = 6^{-1} = \frac{1}{6}.\]
6) \(6^{1 + \log_{6} 5} = 6 \cdot 6^{\log_{6} 5} = 6 \cdot 5 = 30\).
7) \[\left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{\frac{2}{3}} 8 - 2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{\frac{2}{3}} 8} : \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = 8 : \frac{4}{9} = 8 \cdot \frac{9}{4} = 18.\]
8) Основание логарифма приведём к основанию степени: \(\frac{1}{6} = 6^{-1}\), поэтому по свойству \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\) получаем \(\log_{\frac{1}{6}} 3 = -\log_{6} 3\). Тогда \[6^{\log_{\frac{1}{6}} 3} = 6^{-\log_{6} 3} = \left(6^{\log_{6} 3}\right)^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}.\]
Ответ: 1) 32; 2) \(0{,}45\); 3) 4; 4) 1728; 5) \(\frac{1}{6}\); 6) 30; 7) 18; 8) \(\frac{1}{3}\).
