Страница 36 номер 4.14, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите: 1) \(3^{\log_{3}\frac{1}{27}}\); 2) \(5^{\frac{1}{2}\log_{5}49}\); 3) \(4^{\log_{2}9}\); 4) \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-2\log_{3}12}\); 5) \(10^{2 + \lg 8}\); 6) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}6 - 3}\).
1) \(3^{\log_{3}\frac{1}{27}} = \frac{1}{27}\).
2) \(5^{\frac{1}{2}\log_{5} 49} = \left(5^{\log_{5} 49}\right)^{\frac{1}{2}} = 49^{\frac{1}{2}} = 7\).
3) Здесь \(4 = 2^{2}\), поэтому \[4^{\log_{2} 9} = \left(2^{2}\right)^{\log_{2} 9} = \left(2^{\log_{2} 9}\right)^{2} = 9^{2} = 81.\]
4) Здесь \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\), поэтому \[\begin{aligned} &\left(\frac{1}{9}\right)^{-2\log_{3} 12} = \left(3^{-2}\right)^{-2\log_{3} 12} = 3^{4\log_{3} 12} = {} \\ &= \left(3^{\log_{3} 12}\right)^{4} = 12^{4} = 20\,736. \end{aligned}\]
5) \(10^{2 + \lg 8} = 10^{2} \cdot 10^{\lg 8} = 100 \cdot 8 = 800\).
6) \[\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6 - 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6} : \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 6 : \frac{1}{8} = 48.\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{27}\); 2) 7; 3) 81; 4) \(20\,736\); 5) 800; 6) 48.
Вычислите: 1) \(3^{\log_{3}\frac{1}{27}}\); 2) \(5^{\frac{1}{2}\log_{5}49}\); 3) \(4^{\log_{2}9}\); 4) \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-2\log_{3}12}\); 5) \(10^{2 + \lg 8}\); 6) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}6 - 3}\).
Вычисления опираются на основное логарифмическое тождество \(a^{\log_{a} b} = b\) и на свойства степени.
1) По основному логарифмическому тождеству \(3^{\log_{3}\frac{1}{27}} = \frac{1}{27}\).
2) \(5^{\frac{1}{2}\log_{5} 49} = \left(5^{\log_{5} 49}\right)^{\frac{1}{2}} = 49^{\frac{1}{2}} = 7\).
3) Основание степени приведём к основанию логарифма: \(4 = 2^{2}\). Тогда \[4^{\log_{2} 9} = \left(2^{2}\right)^{\log_{2} 9} = \left(2^{\log_{2} 9}\right)^{2} = 9^{2} = 81.\]
4) Так как \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\), то \[\begin{aligned} &\left(\frac{1}{9}\right)^{-2\log_{3} 12} = \left(3^{-2}\right)^{-2\log_{3} 12} = 3^{4\log_{3} 12} = {} \\ &= \left(3^{\log_{3} 12}\right)^{4} = 12^{4} = 20\,736. \end{aligned}\]
5) \(10^{2 + \lg 8} = 10^{2} \cdot 10^{\lg 8} = 100 \cdot 8 = 800\).
6) \[\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6 - 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6} : \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 6 : \frac{1}{8} = 48.\]
Ответ: 1) \(\frac{1}{27}\); 2) 7; 3) 81; 4) \(20\,736\); 5) 800; 6) 48.
