Страница 35 номер 4.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(6^{x} = 2\); 2) \(5^{x} = 10\); 3) \(0{,}4^{x} = 9\); 4) \(2^{x - 3} = 5\); 5) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1 - x} = 2\); 6) \(0{,}3^{3x + 2} = 7\).
1) \(x = \log_{6} 2\).
2) \(x = \log_{5} 10\).
3) \(x = \log_{0{,}4} 9\).
4) Показатель степени равен \(x - 3\), поэтому \(x - 3 = \log_{2} 5\) и \(x = \log_{2} 5 + 3\).
5) Показатель степени равен \(1 - x\), поэтому \(1 - x = \log_{\frac{1}{3}} 2\) и \(x = 1 - \log_{\frac{1}{3}} 2\).
6) Показатель степени равен \(3x + 2\), поэтому \(3x + 2 = \log_{0{,}3} 7\), откуда \(3x = \log_{0{,}3} 7 - 2\) и \(x = \frac{\log_{0{,}3} 7 - 2}{3}\).
Ответ: 1) \(\log_{6} 2\); 2) \(\log_{5} 10\); 3) \(\log_{0{,}4} 9\); 4) \(\log_{2} 5 + 3\); 5) \(1 - \log_{\frac{1}{3}} 2\); 6) \(\frac{\log_{0{,}3} 7 - 2}{3}\).
Решите уравнение: 1) \(6^{x} = 2\); 2) \(5^{x} = 10\); 3) \(0{,}4^{x} = 9\); 4) \(2^{x - 3} = 5\); 5) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1 - x} = 2\); 6) \(0{,}3^{3x + 2} = 7\).
Правая часть каждого уравнения положительна, а основание степени положительно и отлично от единицы, поэтому уравнение имеет единственный корень. По определению логарифма показатель степени равен логарифму правой части по основанию степени.
1) Из определения логарифма следует, что \(x = \log_{6} 2\).
2) Из определения логарифма следует, что \(x = \log_{5} 10\).
3) Из определения логарифма следует, что \(x = \log_{0{,}4} 9\).
4) Показатель степени равен \(x - 3\), поэтому \(x - 3 = \log_{2} 5\); отсюда \(x = \log_{2} 5 + 3\).
5) Показатель степени равен \(1 - x\), поэтому \(1 - x = \log_{\frac{1}{3}} 2\); отсюда \(x = 1 - \log_{\frac{1}{3}} 2\).
6) Показатель степени равен \(3x + 2\), поэтому \(3x + 2 = \log_{0{,}3} 7\); отсюда \(3x = \log_{0{,}3} 7 - 2\) и \(x = \frac{\log_{0{,}3} 7 - 2}{3}\).
Ответ: 1) \(\log_{6} 2\); 2) \(\log_{5} 10\); 3) \(\log_{0{,}4} 9\); 4) \(\log_{2} 5 + 3\); 5) \(1 - \log_{\frac{1}{3}} 2\); 6) \(\frac{\log_{0{,}3} 7 - 2}{3}\).
