Страница 35 номер 4.12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(3^{x} = 2\); 2) \(10^{x} = \frac{1}{6}\); 3) \(7^{x + 5} = 9\); 4) \(0{,}6^{5x - 2} = 20\).
1) \(x = \log_{3} 2\).
2) Основание степени равно 10, поэтому логарифм десятичный: \(x = \lg\frac{1}{6}\).
3) Показатель степени равен \(x + 5\), поэтому \(x + 5 = \log_{7} 9\) и \(x = \log_{7} 9 - 5\).
4) Показатель степени равен \(5x - 2\), поэтому \(5x - 2 = \log_{0{,}6} 20\), откуда \(5x = \log_{0{,}6} 20 + 2\) и \(x = \frac{\log_{0{,}6} 20 + 2}{5}\).
Ответ: 1) \(\log_{3} 2\); 2) \(\lg\frac{1}{6}\); 3) \(\log_{7} 9 - 5\); 4) \(\frac{\log_{0{,}6} 20 + 2}{5}\).
Решите уравнение: 1) \(3^{x} = 2\); 2) \(10^{x} = \frac{1}{6}\); 3) \(7^{x + 5} = 9\); 4) \(0{,}6^{5x - 2} = 20\).
Правая часть каждого уравнения положительна, а основание степени положительно и отлично от единицы, поэтому уравнение имеет единственный корень, и по определению логарифма показатель степени равен логарифму правой части по основанию степени.
1) Из определения логарифма следует, что \(x = \log_{3} 2\).
2) Основание степени равно 10, поэтому логарифм десятичный: \(x = \lg\frac{1}{6}\).
3) Показатель степени равен \(x + 5\), поэтому \(x + 5 = \log_{7} 9\); отсюда \(x = \log_{7} 9 - 5\).
4) Показатель степени равен \(5x - 2\), поэтому \(5x - 2 = \log_{0{,}6} 20\); отсюда \(5x = \log_{0{,}6} 20 + 2\) и \(x = \frac{\log_{0{,}6} 20 + 2}{5}\).
Ответ: 1) \(\log_{3} 2\); 2) \(\lg\frac{1}{6}\); 3) \(\log_{7} 9 - 5\); 4) \(\frac{\log_{0{,}6} 20 + 2}{5}\).
