Страница 35 номер 4.9, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{7}x = -1\); 2) \(\log_{4}x = \frac{1}{2}\); 3) \(\log_{\sqrt{3}}x = 6\); 4) \(\log_{2}x = 0\); 5) \(\log_{x}9 = 2\); 6) \(\log_{x}0{,}25 = -2\); 7) \(\log_{x}2 = 2\); 8) \(\log_{x}5 = \frac{1}{3}\).
1) ОДЗ: \(x > 0\). Тогда \(7^{-1} = x\), то есть \(x = \frac{1}{7}\).
2) ОДЗ: \(x > 0\). Тогда \(4^{\frac{1}{2}} = x\), то есть \(x = 2\).
3) ОДЗ: \(x > 0\). Тогда \(\left(\sqrt{3}\right)^{6} = x\), то есть \(x = 3^{3} = 27\).
4) ОДЗ: \(x > 0\). Тогда \(2^{0} = x\), то есть \(x = 1\).
5) ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Тогда \(x^{2} = 9\); это уравнение имеет корни 3 и \(-3\), но отрицательное число основанием логарифма быть не может, значит, \(x = 3\).
6) ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Тогда \(x^{-2} = 0{,}25\), то есть \(\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4}\), откуда \(x^{2} = 4\); учитывая, что \(x > 0\), получаем \(x = 2\).
7) ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Тогда \(x^{2} = 2\); учитывая, что \(x > 0\), получаем \(x = \sqrt{2}\).
8) ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Тогда \(x^{\frac{1}{3}} = 5\), откуда \(x = 125\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{7}\); 2) 2; 3) 27; 4) 1; 5) 3; 6) 2; 7) \(\sqrt{2}\); 8) 125.
Решите уравнение: 1) \(\log_{7}x = -1\); 2) \(\log_{4}x = \frac{1}{2}\); 3) \(\log_{\sqrt{3}}x = 6\); 4) \(\log_{2}x = 0\); 5) \(\log_{x}9 = 2\); 6) \(\log_{x}0{,}25 = -2\); 7) \(\log_{x}2 = 2\); 8) \(\log_{x}5 = \frac{1}{3}\).
1) Выражение \(\log_{7} x\) определено при \(x > 0\). Из определения логарифма следует, что \(7^{-1} = x\), то есть \(x = \frac{1}{7}\).
2) Выражение \(\log_{4} x\) определено при \(x > 0\). Из определения логарифма следует, что \(4^{\frac{1}{2}} = x\), то есть \(x = 2\).
3) Выражение \(\log_{\sqrt{3}} x\) определено при \(x > 0\). Из определения логарифма следует, что \(\left(\sqrt{3}\right)^{6} = x\), то есть \(x = 3^{3} = 27\).
4) Выражение \(\log_{2} x\) определено при \(x > 0\). Из определения логарифма следует, что \(2^{0} = x\), то есть \(x = 1\).
5) Выражение \(\log_{x} 9\) определено при \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Согласно определению логарифма имеем: \(x^{2} = 9\). Это уравнение имеет корни 3 и \(-3\), но отрицательное число основанием логарифма быть не может. Значит, \(x = 3\).
6) Выражение \(\log_{x} 0{,}25\) определено при \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Согласно определению логарифма имеем: \(x^{-2} = 0{,}25\), то есть \(\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4}\), откуда \(x^{2} = 4\). Учитывая, что \(x > 0\), получаем: \(x = 2\).
7) Выражение \(\log_{x} 2\) определено при \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Согласно определению логарифма имеем: \(x^{2} = 2\). Учитывая, что \(x > 0\), получаем: \(x = \sqrt{2}\).
8) Выражение \(\log_{x} 5\) определено при \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Согласно определению логарифма имеем: \(x^{\frac{1}{3}} = 5\). Возведя обе части этого равенства в куб, получаем: \(x = 125\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{7}\); 2) 2; 3) 27; 4) 1; 5) 3; 6) 2; 7) \(\sqrt{2}\); 8) 125.
