Страница 35 номер 4.10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{6}x = 2\); 2) \(\log_{\sqrt[3]{5}}x = \frac{3}{2}\); 3) \(\log_{0{,}2}x = -3\); 4) \(\log_{x}6 = 5\); 5) \(\log_{x}81 = 4\); 6) \(\log_{x}11 = -1\).
1) ОДЗ: \(x > 0\). Тогда \(6^{2} = x\), то есть \(x = 36\).
2) ОДЗ: \(x > 0\). Тогда \(\left(\sqrt[3]{5}\right)^{\frac{3}{2}} = x\); так как \(\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}\), то \(\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}\), то есть \(x = \sqrt{5}\).
3) ОДЗ: \(x > 0\). Тогда \(\left(0{,}2\right)^{-3} = x\); так как \(0{,}2 = \frac{1}{5}\), то \(\left(0{,}2\right)^{-3} = 5^{3} = 125\), то есть \(x = 125\).
4) ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Тогда \(x^{5} = 6\); учитывая, что \(x > 0\), получаем \(x = \sqrt[5]{6}\).
5) ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Тогда \(x^{4} = 81\); это уравнение имеет корни 3 и \(-3\), но отрицательное число основанием логарифма быть не может, значит, \(x = 3\).
6) ОДЗ: \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Тогда \(x^{-1} = 11\), то есть \(\frac{1}{x} = 11\), откуда \(x = \frac{1}{11}\).
Ответ: 1) 36; 2) \(\sqrt{5}\); 3) 125; 4) \(\sqrt[5]{6}\); 5) 3; 6) \(\frac{1}{11}\).
Решите уравнение: 1) \(\log_{6}x = 2\); 2) \(\log_{\sqrt[3]{5}}x = \frac{3}{2}\); 3) \(\log_{0{,}2}x = -3\); 4) \(\log_{x}6 = 5\); 5) \(\log_{x}81 = 4\); 6) \(\log_{x}11 = -1\).
1) Выражение \(\log_{6} x\) определено при \(x > 0\). Из определения логарифма следует, что \(6^{2} = x\), то есть \(x = 36\).
2) Выражение \(\log_{\sqrt[3]{5}} x\) определено при \(x > 0\). Из определения логарифма следует, что \(\left(\sqrt[3]{5}\right)^{\frac{3}{2}} = x\). Так как \(\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}\), то \(\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}\), то есть \(x = \sqrt{5}\).
3) Выражение \(\log_{0{,}2} x\) определено при \(x > 0\). Из определения логарифма следует, что \(\left(0{,}2\right)^{-3} = x\). Так как \(0{,}2 = \frac{1}{5}\), то \(\left(0{,}2\right)^{-3} = 5^{3} = 125\), то есть \(x = 125\).
4) Выражение \(\log_{x} 6\) определено при \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Согласно определению логарифма имеем: \(x^{5} = 6\). Учитывая, что \(x > 0\), получаем: \(x = \sqrt[5]{6}\).
5) Выражение \(\log_{x} 81\) определено при \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Согласно определению логарифма имеем: \(x^{4} = 81\). Это уравнение имеет корни 3 и \(-3\), но отрицательное число основанием логарифма быть не может. Значит, \(x = 3\).
6) Выражение \(\log_{x} 11\) определено при \(x > 0\) и \(x \ne 1\). Согласно определению логарифма имеем: \(x^{-1} = 11\), то есть \(\frac{1}{x} = 11\). Отсюда \(x = \frac{1}{11}\).
Ответ: 1) 36; 2) \(\sqrt{5}\); 3) 125; 4) \(\sqrt[5]{6}\); 5) 3; 6) \(\frac{1}{11}\).
