Страница 27 номер 3.8, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Так как \(0 < \frac{1}{4} < 1\), знак меняется: \(6x - x^{2} < 5\);
\(x^{2} - 6x + 5 > 0\);
\((x - 1)(x - 5) > 0\), то есть \(x < 1\) или \(x > 5\).
2) \(125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3x^{2}} = 5^{3 - 3x^{2}}\), \(\left(\frac{1}{25}\right)^{-4x} = 5^{8x}\), поэтому \(5^{3 - 3x^{2}} \geqslant 5^{8x}\). Основание больше единицы, поэтому \(3 - 3x^{2} \geqslant 8x\);
\(3x^{2} + 8x - 3 \leqslant 0\). Корни трёхчлена \(3x^{2} + 8x - 3\) — числа \(-3\) и \(\frac{1}{3}\), старший коэффициент положителен, поэтому \(-3 \leqslant x \leqslant \frac{1}{3}\).
3) Дробь \(\frac{x + 5}{x^{2} - 9}\) имеет смысл при \(x \ne -3\) и \(x \ne 3\).
\(0{,}6^{\frac{x + 5}{x^{2} - 9}} < 0{,}6^{0}\). Так как \(0 < 0{,}6 < 1\), знак меняется: \(\frac{x + 5}{(x - 3)(x + 3)} > 0\).
Нули числителя и знаменателя — числа \(-5\), \(-3\) и 3; каждое входит в разложение в первой степени, поэтому при переходе через него дробь меняет знак. При \(x > 3\) все три множителя положительны, значит, дробь положительна; тогда она положительна ещё и на промежутке \((-5;\ -3)\).
4) Так как \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) и \(\sqrt{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\), то \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 0{,}5} > \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\). Так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), знак меняется: \(x - 0{,}5 < -\frac{1}{2}\);
\(x < 0\).
5) Выражение \(\frac{4}{x}\) имеет смысл при \(x \ne 0\).
Так как \(\frac{9}{4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\), то \(\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{x} - 3} \leqslant \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\). Так как \(0 < \frac{2}{3} < 1\), знак меняется: \(\frac{4}{x} - 3 \geqslant -2\);
\(\frac{4}{x} \geqslant 1\);
\(\frac{4 - x}{x} \geqslant 0\).
Нули числителя и знаменателя — числа 4 и 0, причём число 4 в множество решений входит, а число 0 — нет. При \(0 < x < 4\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна, а при \(x < 0\) и при \(x > 4\) она отрицательна. Значит, \(0 < x \leqslant 4\).
6) \(4 \cdot 0{,}5^{x(x + 3)} = 0{,}5^{x^{2} + 3x - 2}\), \(0{,}25^{2x} = 0{,}5^{4x}\), поэтому \(0{,}5^{x^{2} + 3x - 2} \geqslant 0{,}5^{4x}\). Так как \(0 < 0{,}5 < 1\), знак меняется: \(x^{2} + 3x - 2 \leqslant 4x\);
\(x^{2} - x - 2 \leqslant 0\);
\((x + 1)(x - 2) \leqslant 0\);
\(-1 \leqslant x \leqslant 2\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 1) \cup (5;\ +\infty)\); 2) \(\left[-3;\ \frac{1}{3}\right]\); 3) \((-5;\ -3) \cup (3;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ 0)\); 5) \((0;\ 4]\); 6) \([-1;\ 2]\).
1) Так как \(0 < \frac{1}{4} < 1\), то данное неравенство равносильно такому: \(6x - x^{2} < 5\). Отсюда \(x^{2} - 6x + 5 > 0\);
\((x - 1)(x - 5) > 0\). Решения последнего неравенства — числа \(x < 1\) и числа \(x > 5\).
2) Представим обе части в виде степени с основанием 5: \(125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3x^{2}} = 5^{3} \cdot 5^{-3x^{2}} = 5^{3 - 3x^{2}}\), \(\left(\frac{1}{25}\right)^{-4x} = \left(5^{-2}\right)^{-4x} = 5^{8x}\). Получаем неравенство \(5^{3 - 3x^{2}} \geqslant 5^{8x}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(3 - 3x^{2} \geqslant 8x\). Отсюда \(3x^{2} + 8x - 3 \leqslant 0\). Корни квадратного трёхчлена \(3x^{2} + 8x - 3\) — числа \(-3\) и \(\frac{1}{3}\), старший коэффициент положителен, поэтому \(-3 \leqslant x \leqslant \frac{1}{3}\).
3) Дробь \(\frac{x + 5}{x^{2} - 9}\) имеет смысл при \(x \ne -3\) и \(x \ne 3\). Запишем единицу справа как степень с основанием \(0{,}6\): \(0{,}6^{\frac{x + 5}{x^{2} - 9}} < 0{,}6^{0}\). Так как \(0 < 0{,}6 < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(\frac{x + 5}{x^{2} - 9} > 0\);
\(\frac{x + 5}{(x - 3)(x + 3)} > 0\). Нули числителя и знаменателя — числа \(-5\), \(-3\) и 3; каждое из них входит в разложение в первой степени, поэтому при переходе через него дробь меняет знак. При \(x > 3\) все три множителя положительны, значит, дробь положительна; следовательно, она положительна ещё и на промежутке \((-5;\ -3)\).
4) Так как \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) и \(\sqrt{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\), то данное неравенство можно переписать так: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 0{,}5} > \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\). Так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x - 0{,}5 < -\frac{1}{2}\). Отсюда \(x < 0\).
5) Выражение \(\frac{4}{x}\) имеет смысл при \(x \ne 0\). Запишем правую часть как степень с основанием \(\frac{2}{3}\): \(\frac{9}{4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\), поэтому \(\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{x} - 3} \leqslant \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\). Так как \(0 < \frac{2}{3} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(\frac{4}{x} - 3 \geqslant -2\);
\(\frac{4}{x} \geqslant 1\);
\(\frac{4}{x} - 1 \geqslant 0\);
\(\frac{4 - x}{x} \geqslant 0\). Нули числителя и знаменателя — числа 4 и 0, причём число 4 в множество решений входит, а число 0 — нет. При \(0 < x < 4\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна, а при \(x < 0\) и при \(x > 4\) она отрицательна. Значит, \(0 < x \leqslant 4\).
6) Представим обе части в виде степени с основанием \(0{,}5\): \(4 \cdot 0{,}5^{x(x + 3)} = 0{,}5^{-2} \cdot 0{,}5^{x^{2} + 3x} = 0{,}5^{x^{2} + 3x - 2}\), \(0{,}25^{2x} = \left(0{,}5^{2}\right)^{2x} = 0{,}5^{4x}\). Получаем неравенство \(0{,}5^{x^{2} + 3x - 2} \geqslant 0{,}5^{4x}\). Так как \(0 < 0{,}5 < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x^{2} + 3x - 2 \leqslant 4x\). Отсюда \(x^{2} - x - 2 \leqslant 0\);
\((x + 1)(x - 2) \leqslant 0\);
\(-1 \leqslant x \leqslant 2\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 1) \cup (5;\ +\infty)\); 2) \(\left[-3;\ \frac{1}{3}\right]\); 3) \((-5;\ -3) \cup (3;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ 0)\); 5) \((0;\ 4]\); 6) \([-1;\ 2]\).
