Страница 22 номер 2.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(25^{x} + 5^{x + 1} - a^2 + a + 6 = 0\) не имеет корней?
Пусть \(5^{x} = t\); тогда \(25^{x} = t^2\), \(5^{x + 1} = 5t\) и \[t^2 + 5t = a^2 - a - 6.\]
Корню исходного уравнения отвечает значение \(t > 0\), и наоборот: при \(t > 0\) уравнение \(5^{x} = t\) имеет корень.
При \(a^2 - a - 6 \leqslant 0\) корней нет: левая часть \(t(t + 5)\) при \(t > 0\) положительна, а правая неположительна.
При \(a^2 - a - 6 > 0\) имеем \(D = 25 + 4\left(a^2 - a - 6\right) > 25\), поэтому \(\sqrt{D} > 5\) и больший корень \(t = \frac{-5 + \sqrt{D}}{2}\) положителен — корень есть.
Значит, корней нет тогда и только тогда, когда \(a^2 - a - 6 \leqslant 0\), то есть \((a + 2)(a - 3) \leqslant 0\); \(-2 \leqslant a \leqslant 3\).
Ответ: \([-2;\ 3]\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(25^{x} + 5^{x + 1} - a^2 + a + 6 = 0\) не имеет корней?
Пусть \(5^{x} = t\). Тогда \(25^{x} = t^2\) и \(5^{x + 1} = 5t\), поэтому данное уравнение принимает вид \[t^2 + 5t = a^2 - a - 6.\]
Каждому корню исходного уравнения отвечает положительное значение \(t\), и наоборот: если найдено значение \(t > 0\), то уравнение \(5^{x} = t\) имеет корень.
Если \(a^2 - a - 6 \leqslant 0\), то корней нет: при \(t > 0\) левая часть \(t^2 + 5t = t(t + 5)\) положительна, а правая часть неположительна.
Если \(a^2 - a - 6 > 0\), то квадратное уравнение \(t^2 + 5t - \left(a^2 - a - 6\right) = 0\) имеет дискриминант \(D = 25 + 4\left(a^2 - a - 6\right) > 25\), поэтому \(\sqrt{D} > 5\) и его больший корень \(t = \frac{-5 + \sqrt{D}}{2}\) положителен. Значит, в этом случае исходное уравнение корень имеет.
Следовательно, данное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда \(a^2 - a - 6 \leqslant 0\), то есть \((a + 2)(a - 3) \leqslant 0\). Отсюда \(-2 \leqslant a \leqslant 3\).
Ответ: \([-2;\ 3]\).
