Страница 26 номер 3.3, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(6^{7x - 1} > 6\); 2) \(10^{x} < 0{,}001\); 3) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} > \left(\frac{3}{2}\right)^{4}\); 4) \(3^{2x^2 - 6} > \frac{1}{81}\); 5) \(49^{x + 1} < \left(\frac{1}{7}\right)^{x}\); 6) \(0{,}2^{2x - 9} < 1\).
1) \(6^{7x - 1} > 6^{1}\). Основание больше единицы, поэтому \(7x - 1 > 1\); \(7x > 2\); \(x > \frac{2}{7}\).
2) Так как \(0{,}001 = 10^{-3}\), то \(10^{x} < 10^{-3}\). Основание больше единицы, поэтому \(x < -3\).
3) Так как \(\left(\frac{3}{2}\right)^{4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\), то \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} > \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\). Так как \(0 < \frac{2}{3} < 1\), знак меняется: \(x < -4\).
4) \(3^{2x^{2} - 6} > 3^{-4}\). Основание больше единицы, поэтому \(2x^{2} - 6 > -4\); \(2x^{2} > 2\); \(x^{2} > 1\), то есть \(x < -1\) или \(x > 1\).
5) \(49^{x + 1} = 7^{2x + 2}\), \(\left(\frac{1}{7}\right)^{x} = 7^{-x}\), поэтому \(7^{2x + 2} < 7^{-x}\). Основание больше единицы, поэтому \(2x + 2 < -x\); \(3x < -2\); \(x < -\frac{2}{3}\).
6) \(0{,}2^{2x - 9} < 0{,}2^{0}\). Так как \(0 < 0{,}2 < 1\), знак меняется: \(2x - 9 > 0\); \(x > 4{,}5\).
Ответ: 1) \(\left(\frac{2}{7};\ +\infty\right)\); 2) \((-\infty;\ -3)\); 3) \((-\infty;\ -4)\); 4) \((-\infty;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\); 5) \(\left(-\infty;\ -\frac{2}{3}\right)\); 6) \((4{,}5;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(6^{7x - 1} > 6\); 2) \(10^{x} < 0{,}001\); 3) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} > \left(\frac{3}{2}\right)^{4}\); 4) \(3^{2x^2 - 6} > \frac{1}{81}\); 5) \(49^{x + 1} < \left(\frac{1}{7}\right)^{x}\); 6) \(0{,}2^{2x - 9} < 1\).
1) Имеем: \(6^{7x - 1} > 6^{1}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(7x - 1 > 1\). Отсюда \(7x > 2\); \(x > \frac{2}{7}\).
2) Так как \(0{,}001 = 10^{-3}\), то данное неравенство можно переписать так: \(10^{x} < 10^{-3}\). Основание степеней больше единицы, поэтому последнее неравенство равносильно такому: \(x < -3\).
3) Запишем правую часть как степень с основанием \(\frac{2}{3}\): \(\left(\frac{3}{2}\right)^{4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\). Получаем неравенство \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} > \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\). Так как \(0 < \frac{2}{3} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x < -4\).
4) Имеем: \(3^{2x^{2} - 6} > 3^{-4}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(2x^{2} - 6 > -4\). Отсюда \(2x^{2} > 2\); \(x^{2} > 1\). Решения последнего неравенства — числа \(x < -1\) и числа \(x > 1\).
5) Представим обе части в виде степени с основанием 7: \(49^{x + 1} = \left(7^{2}\right)^{x + 1} = 7^{2x + 2}\), \(\left(\frac{1}{7}\right)^{x} = 7^{-x}\). Получаем неравенство \(7^{2x + 2} < 7^{-x}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(2x + 2 < -x\). Отсюда \(3x < -2\); \(x < -\frac{2}{3}\).
6) Единицу, стоящую справа, запишем как степень с основанием \(0{,}2\): \(0{,}2^{2x - 9} < 0{,}2^{0}\). Так как \(0 < 0{,}2 < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(2x - 9 > 0\). Отсюда \(x > 4{,}5\).
Ответ: 1) \(\left(\frac{2}{7};\ +\infty\right)\); 2) \((-\infty;\ -3)\); 3) \((-\infty;\ -4)\); 4) \((-\infty;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\); 5) \(\left(-\infty;\ -\frac{2}{3}\right)\); 6) \((4{,}5;\ +\infty)\).
