Страница 23 номер 2.39, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнения \(4^{x + 1} + 2^{x + 4} = 2^{x + 2} + 16\) и \(|a - 9| \cdot 3^{x - 2} + a \cdot 9^{x - 1} = 1\) равносильны?
Решим первое уравнение. Пусть \(2^{x} = t\); тогда \(4t^2 + 16t = 4t + 16\), то есть \(t^2 + 3t - 4 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = -4\).
Так как \(2^{x} > 0\), уравнение \(2^{x} = -4\) корней не имеет, а из \(2^{x} = 2^{0}\) получаем \(x = 0\) — единственный корень первого уравнения.
Уравнения равносильны тогда и только тогда, когда 0 — единственный корень и второго уравнения.
Подставим \(x = 0\): \(\frac{|a - 9|}{9} + \frac{a}{9} = 1\); \(|a - 9| = 9 - a\), что выполняется при \(9 - a \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 9\).
При \(a \leqslant 9\) имеем \(|a - 9| = 9 - a\), и, умножив второе уравнение на 9, получаем \(a \cdot \left(3^{x}\right)^{2} + (9 - a) \cdot 3^{x} - 9 = 0\).
Пусть \(3^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(at^2 + (9 - a)t - 9 = 0\), то есть \[(t - 1)(at + 9) = 0.\]
При \(a = 0\): \(9t - 9 = 0\); \(t = 1\); \(x = 0\) — единственный корень, уравнения равносильны.
При \(a \ne 0\): \(t = 1\) (ему отвечает корень \(x = 0\)) или \(t = -\frac{9}{a}\). Второе значение даёт ещё один корень тогда и только тогда, когда \(-\frac{9}{a} > 0\) и \(-\frac{9}{a} \ne 1\), то есть при \(a < 0\) и \(a \ne -9\) — тогда уравнения не равносильны. При \(a = -9\) получаем \(t = 1\), нового корня нет; при \(0 < a \leqslant 9\) число \(-\frac{9}{a}\) отрицательно и корней не даёт.
Значит, условию задачи удовлетворяют \(0 \leqslant a \leqslant 9\) и \(a = -9\).
Ответ: \([0;\ 9] \cup \{-9\}\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнения \(4^{x + 1} + 2^{x + 4} = 2^{x + 2} + 16\) и \(|a - 9| \cdot 3^{x - 2} + a \cdot 9^{x - 1} = 1\) равносильны?
Решим первое уравнение. Пусть \(2^{x} = t\). Так как \(4^{x + 1} = 4t^2\), \(2^{x + 4} = 16t\) и \(2^{x + 2} = 4t\), получаем \(4t^2 + 16t = 4t + 16\), то есть \[t^2 + 3t - 4 = 0.\]
Отсюда \(t = 1\) или \(t = -4\). Так как \(2^{x} > 0\) при любом \(x\), уравнение \(2^{x} = -4\) корней не имеет, а из равенства \(2^{x} = 2^{0}\) получаем \(x = 0\). Значит, первое уравнение имеет единственный корень \(x = 0\).
Данные уравнения равносильны тогда и только тогда, когда число 0 — единственный корень и второго уравнения.
Подставим \(x = 0\) во второе уравнение: \(|a - 9| \cdot 3^{-2} + a \cdot 9^{-1} = 1\); \(\frac{|a - 9|}{9} + \frac{a}{9} = 1\); \(|a - 9| = 9 - a\). Последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда \(9 - a \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 9\).
Пусть \(a \leqslant 9\). Тогда \(|a - 9| = 9 - a\), и, умножив второе уравнение на 9, получаем \(a \cdot \left(3^{x}\right)^{2} + (9 - a) \cdot 3^{x} - 9 = 0\).
Пусть \(3^{x} = t\), где \(t > 0\). Тогда \(at^2 + (9 - a)t - 9 = 0\), то есть \[(t - 1)(at + 9) = 0.\]
Если \(a = 0\), то это уравнение принимает вид \(9t - 9 = 0\), откуда \(t = 1\) и \(x = 0\) — единственный корень; уравнения равносильны.
Если \(a \ne 0\), то \(t = 1\) или \(t = -\frac{9}{a}\). Значению \(t = 1\) отвечает корень \(x = 0\). Значение \(t = -\frac{9}{a}\) даёт ещё один корень тогда и только тогда, когда \(-\frac{9}{a} > 0\) и \(-\frac{9}{a} \ne 1\), то есть при \(a < 0\) и \(a \ne -9\); при таких значениях параметра уравнения не равносильны. При \(a = -9\) получаем \(t = 1\), то есть нового корня нет. При \(0 < a \leqslant 9\) число \(-\frac{9}{a}\) отрицательно и корней не даёт.
Значит, условию задачи удовлетворяют значения \(0 \leqslant a \leqslant 9\) и \(a = -9\).
Ответ: \([0;\ 9] \cup \{-9\}\).
