Страница 22 номер 2.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(4^{x} - (a + 1) \cdot 2^{x} + 2a - 2 = 0\) имеет два различных корня?
Пусть \(2^{x} = t\); тогда \[t^2 - (a + 1)t + 2a - 2 = 0.\]
\(D = (a + 1)^2 - 4(2a - 2) = a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2\).
\(t = \frac{(a + 1) + (a - 3)}{2} = a - 1\) или \(t = \frac{(a + 1) - (a - 3)}{2} = 2\).
Значит, уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 2^{x} = 2, \\ 2^{x} = a - 1. \end{array}\right.\]
Первое уравнение имеет единственный корень \(x = 1\), поэтому корней два тогда и только тогда, когда второе уравнение имеет корень, отличный от 1.
Уравнение \(2^{x} = a - 1\) имеет корень при \(a - 1 > 0\), то есть при \(a > 1\).
Этот корень равен 1 при \(a - 1 = 2^{1}\), то есть при \(a = 3\); такое значение не подходит: оба уравнения дают тогда один и тот же корень.
Ответ: \((1;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(4^{x} - (a + 1) \cdot 2^{x} + 2a - 2 = 0\) имеет два различных корня?
Пусть \(2^{x} = t\). Тогда \(4^{x} = t^2\), и данное уравнение принимает вид \[t^2 - (a + 1)t + 2a - 2 = 0.\]
Найдём корни этого квадратного уравнения относительно \(t\): \[D = (a + 1)^2 - 4(2a - 2) = a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2.\]
Значит, \(t = \frac{(a + 1) + (a - 3)}{2} = a - 1\) или \(t = \frac{(a + 1) - (a - 3)}{2} = 2\).
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 2^{x} = 2, \\ 2^{x} = a - 1. \end{array}\right.\]
Первое уравнение совокупности имеет единственный корень \(x = 1\). Значит, данное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда второе уравнение совокупности имеет корень, отличный от 1.
Уравнение \(2^{x} = a - 1\) имеет корень тогда и только тогда, когда \(a - 1 > 0\), то есть при \(a > 1\).
Этот корень равен 1, если \(a - 1 = 2^{1}\), то есть при \(a = 3\); такое значение параметра не подходит, поскольку тогда оба уравнения совокупности дают один и тот же корень.
Ответ: \((1;\ 3) \cup (3;\ +\infty)\).
