Страница 23 номер 2.36, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} = \left(a + \frac{1}{3}\right)x^2 + a^2\) имеет единственное решение?
Обе части — чётные функции: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{|-x|} = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|}\), а правая часть не меняется, так как \((-x)^2 = x^2\). Поэтому вместе с корнем \(x_0\) есть корень \(-x_0\), и единственным корень может быть только при \(x_0 = 0\).
Подставим \(x = 0\): \(\left(\frac{1}{3}\right)^{0} = a^2\); \(a^2 = 1\), откуда \(a = -1\) или \(a = 1\).
При \(a = -1\) уравнение \(\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} = -\frac{2}{3}x^2 + 1\) имеет, кроме числа 0, корни 1 и \(-1\) (обе части равны \(\frac{1}{3}\)) — единственного корня нет.
При \(a = 1\) уравнение принимает вид \(\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} = \frac{4}{3}x^2 + 1\). Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы и \(|x| \geqslant 0\), поэтому \(\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} \leqslant \left(\frac{1}{3}\right)^{0} = 1\), тогда как \(\frac{4}{3}x^2 + 1 \geqslant 1\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} = 1, \\ \frac{4}{3}x^2 + 1 = 1. \end{cases}\]
Каждое уравнение системы даёт \(x = 0\) — корень единственный.
Ответ: \(a = 1\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} = \left(a + \frac{1}{3}\right)x^2 + a^2\) имеет единственное решение?
Обе части уравнения — чётные функции переменной \(x\): \(\left(\frac{1}{3}\right)^{|-x|} = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|}\), а замена \(x\) на \(-x\) не меняет и правой части, так как \((-x)^2 = x^2\). Поэтому вместе с каждым корнем \(x_0\) уравнение имеет и корень \(-x_0\), а единственным корень может быть только при \(x_0 = 0\).
Подставим \(x = 0\) в уравнение: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{0} = a^2\); \(a^2 = 1\). Отсюда \(a = -1\) или \(a = 1\). Проверим каждое из этих значений.
Если \(a = -1\), то уравнение принимает вид \(\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} = -\frac{2}{3}x^2 + 1\). Кроме числа 0, его корнями являются числа 1 и \(-1\): и при \(x = 1\), и при \(x = -1\) обе части равны \(\frac{1}{3}\). Значит, единственного корня уравнение не имеет.
Если \(a = 1\), то уравнение принимает вид \(\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} = \frac{4}{3}x^2 + 1\). Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы и \(|x| \geqslant 0\), поэтому \(\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} \leqslant \left(\frac{1}{3}\right)^{0} = 1\); в то же время \(\frac{4}{3}x^2 + 1 \geqslant 1\). Значит, уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} = 1, \\ \frac{4}{3}x^2 + 1 = 1. \end{cases}\]
Каждое уравнение системы даёт \(x = 0\), то есть корень единственный.
Ответ: \(a = 1\).
