Страница 29 номер 3.32, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Для каждого значения параметра \(a\) решите неравенство \((x - a)\sqrt{3 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 3^{x}} \ge 0\).
ОДЗ: \(3 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 3^{x} \geqslant 0\), то есть \(3 \cdot 2^{x} \geqslant 2 \cdot 3^{x}\); разделим обе части на положительное \(2 \cdot 2^{x}\): \(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} \leqslant \left(\frac{3}{2}\right)^{1}\); основание \(\frac{3}{2}\) больше единицы, поэтому \(x \leqslant 1\).
Подкоренное выражение обращается в нуль только при \(x = 1\), а при \(x < 1\) оно положительно.
Если \(x = 1\), то второй множитель равен нулю: произведение равно нулю и неравенство выполняется при любом значении параметра, поэтому значение \(x = 1\) входит в множество решений всегда.
Если \(x < 1\), то второй множитель положителен, поэтому неравенство равносильно условию \(x \geqslant a\); такие значения переменной существуют лишь при \(a < 1\) и образуют промежуток \([a;\ 1)\).
Значит, при \(a < 1\) множество решений — отрезок \([a;\ 1]\), а при \(a \geqslant 1\) решение только одно: \(x = 1\).
Ответ: если \(a \geqslant 1\), то \(x = 1\); если \(a < 1\), то множество решений — отрезок \([a;\ 1]\).
Для каждого значения параметра \(a\) решите неравенство \((x - a)\sqrt{3 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 3^{x}} \ge 0\).
Область допустимых значений неравенства задаётся условием \(3 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 3^{x} \geqslant 0\), то есть \(3 \cdot 2^{x} \geqslant 2 \cdot 3^{x}\). Разделив обе части на положительное число \(2 \cdot 2^{x}\), получим равносильное неравенство \(\frac{3}{2} \geqslant \left(\frac{3}{2}\right)^{x}\), то есть \(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} \leqslant \left(\frac{3}{2}\right)^{1}\). Так как основание \(\frac{3}{2}\) больше единицы, то \(x \leqslant 1\).
Подкоренное выражение обращается в нуль только при \(x = 1\), а при \(x < 1\) оно положительно.
Если \(x = 1\), то второй множитель равен нулю, поэтому произведение равно нулю и неравенство выполняется при любом значении параметра. Значит, значение \(x = 1\) входит в множество решений всегда.
Если \(x < 1\), то второй множитель положителен, поэтому данное неравенство равносильно условию \(x - a \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant a\). Такие значения переменной существуют лишь при \(a < 1\); они образуют промежуток \([a;\ 1)\).
Значит, при \(a < 1\) множество решений — объединение промежутка \([a;\ 1)\) и точки \(x = 1\), то есть отрезок \([a;\ 1]\). При \(a \geqslant 1\) решение только одно: \(x = 1\).
Ответ: если \(a \geqslant 1\), то \(x = 1\); если \(a < 1\), то множество решений — отрезок \([a;\ 1]\).
