Страница 28 номер 3.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(2^{3x + 1} + 0{,}25^{\frac{1 - 3x}{2}} - 4^{\frac{3x}{2}} > 192\); 2) \(2^{2x - 1} + 2^{2x - 3} - 2^{2x - 5} > 2^{7 - x} + 2^{5 - x} - 2^{3 - x}\).
1) \(0{,}25^{\frac{1 - 3x}{2}} = \left(2^{-2}\right)^{\frac{1 - 3x}{2}} = 2^{3x - 1}\), \(4^{\frac{3x}{2}} = 2^{3x}\), и неравенство принимает вид \(2^{3x + 1} + 2^{3x - 1} - 2^{3x} > 192\).
\(2^{3x - 1}\left(2^{2} + 1 - 2\right) > 192\); \(3 \cdot 2^{3x - 1} > 192\); \(2^{3x - 1} > 64\); \(2^{3x - 1} > 2^{6}\); основание больше единицы, поэтому \(3x - 1 > 6\); \(3x > 7\); \(x > \frac{7}{3}\).
2) \(2^{2x - 5}\left(2^{4} + 2^{2} - 1\right) > 2^{3 - x}\left(2^{4} + 2^{2} - 1\right)\), и так как \(2^{4} + 2^{2} - 1 = 19\), то \(19 \cdot 2^{2x - 5} > 19 \cdot 2^{3 - x}\), откуда \(2^{2x - 5} > 2^{3 - x}\).
Основание больше единицы, поэтому \(2x - 5 > 3 - x\); \(3x > 8\); \(x > \frac{8}{3}\).
Ответ: 1) \(\left(\frac{7}{3};\ +\infty\right)\); 2) \(\left(\frac{8}{3};\ +\infty\right)\).
Решите неравенство: 1) \(2^{3x + 1} + 0{,}25^{\frac{1 - 3x}{2}} - 4^{\frac{3x}{2}} > 192\); 2) \(2^{2x - 1} + 2^{2x - 3} - 2^{2x - 5} > 2^{7 - x} + 2^{5 - x} - 2^{3 - x}\).
1) Приведём все степени к основанию 2: \(0{,}25^{\frac{1 - 3x}{2}} = \left(2^{-2}\right)^{\frac{1 - 3x}{2}} = 2^{-(1 - 3x)} = 2^{3x - 1}\), \(4^{\frac{3x}{2}} = \left(2^{2}\right)^{\frac{3x}{2}} = 2^{3x}\).
Данное неравенство принимает вид \(2^{3x + 1} + 2^{3x - 1} - 2^{3x} > 192\).
Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем: \(2^{3x - 1}\left(2^{2} + 1 - 2\right) > 192\); \(3 \cdot 2^{3x - 1} > 192\); \(2^{3x - 1} > 64\); \(2^{3x - 1} > 2^{6}\).
Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(3x - 1 > 6\). Отсюда \(3x > 7\); \(x > \frac{7}{3}\).
2) В левой части вынесем за скобки степень \(2^{2x - 5}\), а в правой — степень \(2^{3 - x}\): \(2^{2x - 5}\left(2^{4} + 2^{2} - 1\right) > 2^{3 - x}\left(2^{4} + 2^{2} - 1\right)\).
Так как \(2^{4} + 2^{2} - 1 = 19\), получаем \(19 \cdot 2^{2x - 5} > 19 \cdot 2^{3 - x}\), откуда \(2^{2x - 5} > 2^{3 - x}\).
Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(2x - 5 > 3 - x\). Отсюда \(3x > 8\); \(x > \frac{8}{3}\).
Ответ: 1) \(\left(\frac{7}{3};\ +\infty\right)\); 2) \(\left(\frac{8}{3};\ +\infty\right)\).
