Страница 28 номер 3.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(|3^{x} - 1| + |3^{x} - 9| = 8\).
\(3^{x} = t\), \(t > 0\): \(|t - 1| + |t - 9| = 8\).
Если \(0 < t < 1\), то \(|t - 1| = 1 - t\), \(|t - 9| = 9 - t\), и \(10 - 2t = 8\); \(t = 1\) не удовлетворяет условию \(t < 1\), поэтому корней нет.
Если \(1 \leqslant t \leqslant 9\), то \(|t - 1| = t - 1\), \(|t - 9| = 9 - t\), и левая часть равна \(t - 1 + 9 - t = 8\): равенство верно при каждом значении \(t\) из промежутка \([1;\ 9]\).
Если \(t > 9\), то \(|t - 1| = t - 1\), \(|t - 9| = t - 9\), и \(2t = 18\); \(t = 9\) не удовлетворяет условию \(t > 9\), поэтому корней нет.
Значит, \(3^{0} \leqslant 3^{x} \leqslant 3^{2}\); основание 3 больше единицы, поэтому \(0 \leqslant x \leqslant 2\).
Ответ: \([0;\ 2]\).
Решите уравнение \(|3^{x} - 1| + |3^{x} - 9| = 8\).
Положим \(3^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и уравнение принимает вид \(|t - 1| + |t - 9| = 8\). Раскроем модули, рассмотрев три случая.
Если \(0 < t < 1\), то \(t - 1 < 0\) и \(t - 9 < 0\), поэтому \(|t - 1| = 1 - t\), \(|t - 9| = 9 - t\), и уравнение принимает вид \(1 - t + 9 - t = 8\); \(10 - 2t = 8\); \(t = 1\). Полученное значение не удовлетворяет условию \(t < 1\), поэтому в этом случае корней нет.
Если \(1 \leqslant t \leqslant 9\), то \(|t - 1| = t - 1\), \(|t - 9| = 9 - t\), и левая часть уравнения равна \(t - 1 + 9 - t = 8\). Значит, равенство выполняется при каждом значении \(t\) из промежутка \([1;\ 9]\).
Если \(t > 9\), то \(|t - 1| = t - 1\), \(|t - 9| = t - 9\), и уравнение принимает вид \(t - 1 + t - 9 = 8\); \(2t = 18\); \(t = 9\). Полученное значение не удовлетворяет условию \(t > 9\), поэтому в этом случае корней нет.
Значит, \(1 \leqslant 3^{x} \leqslant 9\), то есть \(3^{0} \leqslant 3^{x} \leqslant 3^{2}\). Так как основание 3 больше единицы, то \(0 \leqslant x \leqslant 2\).
Ответ: \([0;\ 2]\).
