Страница 28 номер 3.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(3 \cdot 16^{x} + 2 \cdot 81^{x} - 5 \cdot 36^{x} < 0\); 2) \(2 \cdot 49^{\frac{1}{x}} - 9 \cdot 14^{\frac{1}{x}} + 7 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \ge 0\).
1) \(16^{x} = \left(4^{x}\right)^{2}\), \(81^{x} = \left(9^{x}\right)^{2}\), \(36^{x} = 4^{x} \cdot 9^{x}\); разделим обе части на положительное \(81^{x}\): \(3 \cdot \left(\frac{16}{81}\right)^{x} - 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{x} + 2 < 0\).
\(\left(\frac{4}{9}\right)^{x} = t\), \(t > 0\), \(\left(\frac{16}{81}\right)^{x} = t^{2}\): \(3t^{2} - 5t + 2 < 0\); корни \(\frac{2}{3}\) и 1, поэтому \(\frac{2}{3} < t < 1\).
Так как \(\frac{2}{3} = \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}\), а \(1 = \left(\frac{4}{9}\right)^{0}\), то \(\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}} < \left(\frac{4}{9}\right)^{x} < \left(\frac{4}{9}\right)^{0}\); так как \(0 < \frac{4}{9} < 1\), то двойное неравенство меняет знаки на противоположные: \(\frac{1}{2} > x > 0\), то есть \(0 < x < \frac{1}{2}\).
2) Выражение \(\frac{1}{x}\) определено при \(x \ne 0\).
\(49^{\frac{1}{x}} = \left(7^{\frac{1}{x}}\right)^{2}\), \(14^{\frac{1}{x}} = 7^{\frac{1}{x}} \cdot 2^{\frac{1}{x}}\), \(4^{\frac{1}{x}} = \left(2^{\frac{1}{x}}\right)^{2}\); разделим обе части на положительное \(4^{\frac{1}{x}}\): \(2 \cdot \left(\frac{49}{4}\right)^{\frac{1}{x}} - 9 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} + 7 \geqslant 0\).
\(\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = t\), \(t > 0\), \(\left(\frac{49}{4}\right)^{\frac{1}{x}} = t^{2}\): \(2t^{2} - 9t + 7 \geqslant 0\); корни 1 и \(\frac{7}{2}\), поэтому \(t \leqslant 1\) или \(t \geqslant \frac{7}{2}\).
Если \(t \leqslant 1\), то \(\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \leqslant \left(\frac{7}{2}\right)^{0}\), откуда при основании, большем единицы, \(\frac{1}{x} \leqslant 0\), а это возможно только при \(x < 0\).
Если \(t \geqslant \frac{7}{2}\), то \(\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \geqslant \left(\frac{7}{2}\right)^{1}\), откуда \(\frac{1}{x} \geqslant 1\); \(\frac{1 - x}{x} \geqslant 0\), и методом интервалов получаем \(0 < x \leqslant 1\).
Ответ: 1) \(\left(0;\ \frac{1}{2}\right)\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ 1]\).
Решите неравенство: 1) \(3 \cdot 16^{x} + 2 \cdot 81^{x} - 5 \cdot 36^{x} < 0\); 2) \(2 \cdot 49^{\frac{1}{x}} - 9 \cdot 14^{\frac{1}{x}} + 7 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \ge 0\).
1) Так как \(16^{x} = \left(4^{x}\right)^{2}\), \(81^{x} = \left(9^{x}\right)^{2}\) и \(36^{x} = 4^{x} \cdot 9^{x}\), данное неравенство однородное. Так как \(81^{x} > 0\) при любом \(x\), то, разделив обе части на \(81^{x}\), получаем равносильное неравенство \(3 \cdot \left(\frac{16}{81}\right)^{x} - 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{x} + 2 < 0\).
Положим \(\left(\frac{4}{9}\right)^{x} = t\). Тогда \(t > 0\), \(\left(\frac{16}{81}\right)^{x} = t^{2}\) и неравенство принимает вид \(3t^{2} - 5t + 2 < 0\). Корни трёхчлена \(3t^{2} - 5t + 2\) — числа \(\frac{2}{3}\) и 1, поэтому \(\frac{2}{3} < t < 1\).
Так как \(\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}\), а \(1 = \left(\frac{4}{9}\right)^{0}\), то \(\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}} < \left(\frac{4}{9}\right)^{x} < \left(\frac{4}{9}\right)^{0}\). Так как \(0 < \frac{4}{9} < 1\), то двойное неравенство меняет знаки на противоположные: \(\frac{1}{2} > x > 0\), то есть \(0 < x < \frac{1}{2}\).
2) Выражение \(\frac{1}{x}\) определено при \(x \ne 0\).
Так как \(49^{\frac{1}{x}} = \left(7^{\frac{1}{x}}\right)^{2}\), \(14^{\frac{1}{x}} = 7^{\frac{1}{x}} \cdot 2^{\frac{1}{x}}\) и \(4^{\frac{1}{x}} = \left(2^{\frac{1}{x}}\right)^{2}\), данное неравенство однородное. Так как \(4^{\frac{1}{x}} > 0\), то, разделив обе части на \(4^{\frac{1}{x}}\), получаем равносильное неравенство \(2 \cdot \left(\frac{49}{4}\right)^{\frac{1}{x}} - 9 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} + 7 \geqslant 0\).
Положим \(\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = t\). Тогда \(t > 0\), \(\left(\frac{49}{4}\right)^{\frac{1}{x}} = t^{2}\) и неравенство принимает вид \(2t^{2} - 9t + 7 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(2t^{2} - 9t + 7\) — числа 1 и \(\frac{7}{2}\), поэтому \(t \leqslant 1\) или \(t \geqslant \frac{7}{2}\).
Если \(t \leqslant 1\), то \(\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \leqslant \left(\frac{7}{2}\right)^{0}\), откуда при основании, большем единицы, \(\frac{1}{x} \leqslant 0\). Это возможно только при \(x < 0\).
Если \(t \geqslant \frac{7}{2}\), то \(\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \geqslant \left(\frac{7}{2}\right)^{1}\), откуда \(\frac{1}{x} \geqslant 1\). Отсюда \(\frac{1}{x} - 1 \geqslant 0\); \(\frac{1 - x}{x} \geqslant 0\), и методом интервалов получаем \(0 < x \leqslant 1\).
Ответ: 1) \(\left(0;\ \frac{1}{2}\right)\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ 1]\).
