Страница 23 номер 2.32, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(9^{x} - (14 - x) \cdot 3^{x} + 33 - 3x = 0\).
Пусть \(3^{x} = t\); тогда \[t^2 - (14 - x)t + 33 - 3x = 0.\]
\(D = (14 - x)^2 - 4(33 - 3x) = x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2\).
\(t = \frac{(14 - x) + (x - 8)}{2} = 3\) или \(t = \frac{(14 - x) - (x - 8)}{2} = 11 - x\).
Значит, уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 3^{x} = 3, \\ 3^{x} = 11 - x. \end{array}\right.\]
Первое уравнение имеет единственный корень \(x = 1\).
Второе равносильно уравнению \(3^{x} + x = 11\); функция \(f(x) = 3^{x} + x\) возрастает как сумма возрастающих функций и каждое своё значение принимает один раз. Так как \(f(2) = 3^{2} + 2 = 11\), то \(x = 2\) — единственный корень второго уравнения.
Ответ: 1; 2.
Решите уравнение \(9^{x} - (14 - x) \cdot 3^{x} + 33 - 3x = 0\).
Пусть \(3^{x} = t\). Тогда \(9^{x} = t^2\), и данное уравнение принимает вид \[t^2 - (14 - x)t + 33 - 3x = 0.\]
Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно \(t\): \[D = (14 - x)^2 - 4(33 - 3x) = x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2.\]
Значит, \(t = \frac{(14 - x) + (x - 8)}{2} = 3\) или \(t = \frac{(14 - x) - (x - 8)}{2} = 11 - x\).
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 3^{x} = 3, \\ 3^{x} = 11 - x. \end{array}\right.\]
Первое уравнение совокупности имеет единственный корень \(x = 1\).
Второе уравнение совокупности равносильно уравнению \(3^{x} + x = 11\). Функция \(f(x) = 3^{x} + x\) возрастает как сумма двух возрастающих функций, а следовательно, каждое своё значение она принимает только один раз. Так как \(f(2) = 3^{2} + 2 = 11\), то \(x = 2\) — единственный корень второго уравнения.
Ответ: 1; 2.
