Страница 23 номер 2.27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(2^{x} = 3 - x\); 2) \(3^{x} + 4^{x} = 5^{x}\); 3) \(7^{6 - x} = x + 2\); 4) \(3^{x - 1} + 5^{x - 1} = 34\).
1) Уравнение равносильно уравнению \(2^{x} + x = 3\); функция \(f(x) = 2^{x} + x\) возрастает как сумма возрастающих функций, поэтому каждое своё значение принимает один раз.
\(f(1) = 2^{1} + 1 = 3\), значит, \(x = 1\) — единственный корень.
2) Разделим обе части на \(5^{x}\) (при любом \(x\) это число положительно): \[\left(\frac{3}{5}\right)^{x} + \left(\frac{4}{5}\right)^{x} = 1.\]
Основания \(\frac{3}{5}\) и \(\frac{4}{5}\) меньше единицы, поэтому обе степени убывают и функция \(f(x) = \left(\frac{3}{5}\right)^{x} + \left(\frac{4}{5}\right)^{x}\) убывает — каждое своё значение она принимает один раз.
\(f(2) = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1\), значит, \(x = 2\) — единственный корень.
3) Уравнение равносильно уравнению \(7^{6 - x} - x = 2\).
Так как \(7^{6 - x} = 7^{6} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{x}\), а основание \(\frac{1}{7}\) меньше единицы, функция \(y = 7^{6 - x}\) убывает; функция \(y = -x\) тоже убывает, поэтому \(f(x) = 7^{6 - x} - x\) убывает и каждое своё значение принимает один раз.
\(f(5) = 7^{1} - 5 = 2\), значит, \(x = 5\) — единственный корень.
4) Функция \(f(x) = 3^{x - 1} + 5^{x - 1}\) возрастает как сумма возрастающих функций, поэтому каждое своё значение принимает один раз.
\(f(3) = 3^{2} + 5^{2} = 34\), значит, \(x = 3\) — единственный корень.
Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) 5; 4) 3.
Решите уравнение: 1) \(2^{x} = 3 - x\); 2) \(3^{x} + 4^{x} = 5^{x}\); 3) \(7^{6 - x} = x + 2\); 4) \(3^{x - 1} + 5^{x - 1} = 34\).
1) Данное уравнение равносильно уравнению \(2^{x} + x = 3\).
Функция \(f(x) = 2^{x} + x\) возрастает как сумма двух возрастающих функций, а следовательно, каждое своё значение она принимает только один раз. Поэтому уравнение \(f(x) = 3\) имеет не более одного корня.
Так как \(f(1) = 2^{1} + 1 = 3\), то \(x = 1\) — единственный корень.
2) Разделим обе части уравнения на \(5^{x}\) (это число положительно при любом \(x\)): \[\left(\frac{3}{5}\right)^{x} + \left(\frac{4}{5}\right)^{x} = 1.\]
Функции \(y = \left(\frac{3}{5}\right)^{x}\) и \(y = \left(\frac{4}{5}\right)^{x}\) убывающие, так как их основания меньше единицы. Значит, функция \(f(x) = \left(\frac{3}{5}\right)^{x} + \left(\frac{4}{5}\right)^{x}\) также является убывающей, а следовательно, каждое своё значение она принимает только один раз.
Так как \(f(2) = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1\), то \(x = 2\) — единственный корень.
3) Данное уравнение равносильно уравнению \(7^{6 - x} - x = 2\).
Так как \(7^{6 - x} = 7^{6} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{x}\), а основание \(\frac{1}{7}\) меньше единицы, функция \(y = 7^{6 - x}\) убывающая. Функция \(y = -x\) также убывающая, поэтому функция \(f(x) = 7^{6 - x} - x\) убывает и каждое своё значение принимает только один раз.
Так как \(f(5) = 7^{1} - 5 = 2\), то \(x = 5\) — единственный корень.
4) Функция \(f(x) = 3^{x - 1} + 5^{x - 1}\) возрастает как сумма двух возрастающих функций, а следовательно, каждое своё значение она принимает только один раз.
Так как \(f(3) = 3^{2} + 5^{2} = 34\), то \(x = 3\) — единственный корень.
Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) 5; 4) 3.
