Страница 28 номер 3.28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(5^{x} > 6 - x\); 2) \(5^{x} + 12^{x} < 13^{x}\).
1) Функция \(y = 5^{x}\) возрастающая (основание больше единицы), функция \(y = 6 - x\) убывающая.
При \(x = 1\) обе части равны: \(5^{1} = 5\) и \(6 - 1 = 5\).
При \(x > 1\) имеем \(5^{x} > 5\) и \(6 - x < 5\), поэтому \(5^{x} > 6 - x\); при \(x < 1\) имеем \(5^{x} < 5\) и \(6 - x > 5\), поэтому \(5^{x} < 6 - x\).
Значит, множество решений — промежуток \((1;\ +\infty)\).
2) Разделим обе части на положительное \(13^{x}\): \(\left(\frac{5}{13}\right)^{x} + \left(\frac{12}{13}\right)^{x} < 1\).
Функция \(f(x) = \left(\frac{5}{13}\right)^{x} + \left(\frac{12}{13}\right)^{x}\) — сумма двух показательных функций с основаниями, меньшими единицы, то есть убывающих, поэтому она убывающая.
\(f(2) = \frac{25}{169} + \frac{144}{169} = 1\).
При \(x > 2\) имеем \(f(x) < f(2)\), при \(x < 2\) — \(f(x) > f(2)\). Значит, множество решений неравенства \(f(x) < 1\) — промежуток \((2;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((1;\ +\infty)\); 2) \((2;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(5^{x} > 6 - x\); 2) \(5^{x} + 12^{x} < 13^{x}\).
1) Функция \(y = 5^{x}\) возрастающая, так как её основание больше единицы; функция \(y = 6 - x\) убывающая.
Заметим, что при \(x = 1\) обе части неравенства равны: \(5^{1} = 5\) и \(6 - 1 = 5\).
При \(x > 1\) выполняются неравенства \(5^{x} > 5\) и \(6 - x < 5\), поэтому \(5^{x} > 6 - x\). При \(x < 1\) выполняются неравенства \(5^{x} < 5\) и \(6 - x > 5\), поэтому \(5^{x} < 6 - x\).
Значит, множеством решений данного неравенства является промежуток \((1;\ +\infty)\).
2) Так как \(13^{x} > 0\) при любом \(x\), то, разделив обе части неравенства на \(13^{x}\), получаем равносильное неравенство \(\left(\frac{5}{13}\right)^{x} + \left(\frac{12}{13}\right)^{x} < 1\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = \left(\frac{5}{13}\right)^{x} + \left(\frac{12}{13}\right)^{x}\). Каждое слагаемое — показательная функция с основанием, меньшим единицы, то есть убывающая функция; сумма убывающих функций убывает, поэтому функция \(f\) убывающая.
Заметим, что \(f(2) = \frac{25}{169} + \frac{144}{169} = 1\).
Так как функция \(f\) убывающая, то при \(x > 2\) выполняется неравенство \(f(x) < f(2)\), а при \(x < 2\) — неравенство \(f(x) > f(2)\). Следовательно, множеством решений неравенства \(f(x) < 1\) является промежуток \((2;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((1;\ +\infty)\); 2) \((2;\ +\infty)\).
